Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）設該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為　  　；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．

①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設S₀是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S₀的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）（，0）；（3）①不存在，理由見試題解析；②；③．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知的與x軸的兩個交點坐標和經(jīng)過的一點利用交點式求二次函數(shù)的解析式即可；

（2）首先根據(jù)上題求得的函數(shù)的解析式確定頂點坐標，然后求得點C關于x軸的對稱點的坐標C′，從而求得直線C′M的解析式，求得與x軸的交點坐標即可；

（3）（3）①如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．

②本題要分三種情況進行討論：當E在OC上，D在OA上，即當時，此時S=OE•OD，由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；

當E在CA上，D在OA上，即當時，此時S=OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；

當E，D都在CA上時，即當相遇時用的時間，此時S=S_△AOE﹣S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關系式；

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內(nèi)，函數(shù)的不同表達式．

③根據(jù)②的函數(shù)即可得出S的最大值．

試題解析：（1）設二次函數(shù)的解析式為，∵圖象過點（0，﹣8），∴，∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）∵=，∴點M的坐標為（2，），∵點C的坐標為（0，），∴點C關于x軸對稱的點C′的坐標為（0，8），∴直線C′M的解析式為：，令，得，解得：，∴點K的坐標為（，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，

若PQ∥OC，則點P，Q分別在線段OA，CA上，此時，，∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC，∴，∵AP=，AQ=，∴，∴，∵＞2不滿足；∴不存在PQ∥OC；

②分情況討論如下，

情況1：

S=OP•OQ=；

情況2：

作QE⊥OA，垂足為E，S=OP•EQ=，

情況3：，

作OF⊥AC，垂足為F，則OF=，S=QP•OF=；

∴；

③當時，，函數(shù)的最大值是12；

當時，，函數(shù)的最大值是；

當，，函數(shù)的最大值為；

∴S₀的值為．

考點：二次函數(shù)綜合題．