【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,點(diǎn)P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合),點(diǎn)Q是邊CD上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.
(1)當(dāng)QD=QC時(shí),求∠ABP的正切值;
(2)設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)聯(lián)結(jié)BQ,在△PBQ中是否存在度數(shù)不變的角?若存在,指出這個(gè)角,并求出它的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1) ;(2) (0<x<2);(3)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)延長(zhǎng)PQ交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.設(shè)PD=x,由∠PBC=∠BPQ可得EB=EP,再根據(jù)AD//BC,QD=QC可得PD=CE,PQ=QE,從而得BE=EP= x+2, QP=,在Rt△PDQ中,根據(jù)勾股定理可得,從而求得的長(zhǎng),再根據(jù)正切的定義即可求得;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PQ,垂足為點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)BQ,通過(guò)證明Rt△PAB Rt△PHB,得到AP = PH =x,通過(guò)證明Rt△BHQ Rt△BCQ,得到QH = QC= y,在Rt△PDQ中,根據(jù) 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2,代入即可求得;
(3)存在,根據(jù)(2)中的兩對(duì)全等三角形即可得.
試題解析:(1)延長(zhǎng)PQ交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,設(shè)PD=x,
∵∠PBC=∠BPQ,
∴EB=EP,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD//BC,∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE,
∵QD=QC,∴PD=CE,PQ=QE,
∴BE=EP= x+2,∴QP=,
在Rt△PDQ中,∵,∴,解得,
∴,∴;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PQ,垂足為點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)BQ,
∵AD//BC,∴∠CBP=∠APB,∵∠PBC=∠BPQ,∴∠APB=∠HPB,
∵∠A=∠PHB=90°,∴BH = AB =2,∵PB = PB,∴Rt△PAB Rt△PHB,
∴AP = PH =x,
∵BC = BH=2,BQ = BQ,∠C=∠BHQ=90°,
∴Rt△BHQ Rt△BCQ,∴QH = QC= y
在Rt△PDQ中,∵,∴,
∴;
(3)存在,∠PBQ=45°.
由(2)可得, , ,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)實(shí)踐課上,同學(xué)們分組測(cè)量教學(xué)樓前國(guó)旗桿的高度.小澤同學(xué)所在的組先設(shè)計(jì)了測(cè)量方案,然后開(kāi)始測(cè)量了.他們?nèi)M分成兩個(gè)測(cè)量隊(duì),分別負(fù)責(zé)室內(nèi)測(cè)量和室外測(cè)量(如圖).室內(nèi)測(cè)量組來(lái)到教室內(nèi)窗臺(tái)旁,在點(diǎn)E處測(cè)得旗桿頂部A的仰角α為45°,旗桿底部B的俯角β為60°. 室外測(cè)量組測(cè)得BF的長(zhǎng)度為5米.則旗桿AB=______米.
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【題目】如圖,小強(qiáng)從A處出發(fā)沿北偏東70°方向行走,走至B處,又沿著北偏西30°方向行走至C處,此時(shí)需把方向調(diào)整到與出發(fā)時(shí)一致,則方向的調(diào)整應(yīng)是( 。
A. 左轉(zhuǎn) 80° B. 右轉(zhuǎn)80° C. 右轉(zhuǎn) 100° D. 左轉(zhuǎn) 100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)分別在BC和CD上,下列結(jié)論:
(1)BE=DF;(2)∠AEB=75°;(3)BE+DF=EF;(4).
其中正確的序號(hào)是____________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】三張形狀、大小相同但畫(huà)面不同的風(fēng)景圖片,都按同樣的方式剪成相同的三段,然后將上、中、下三段分別混合洗勻,從三堆圖片中隨機(jī)各抽出一張, 求這三張圖片恰好組成一張完整風(fēng)景圖片的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表數(shù)據(jù)是科研小組在某地區(qū)根據(jù)調(diào)查獲取的:“距離地面的高度(千米)與此處的溫度(攝氏度)”的關(guān)系。
距離地面高度/千米 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
溫度/攝氏度 | 20 | 14 | 8 | 2 | -4 | -10 |
根據(jù)上表,請(qǐng)你回答:
(1)上表中___________是自變量;_________________是因變量;
(2)如果用表示距離地面的高度(千米),表示溫度(攝氏度),請(qǐng)你寫(xiě)出與的關(guān)系式____________________________________;
(3)請(qǐng)你利用(2)的結(jié)論,求該地區(qū):①距離地面6.2千米的高空溫度是多少?②當(dāng)高空某處溫度為-52度時(shí),該處的高度是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn),且CF=CD,求證:∠AEF=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩車同時(shí)同時(shí)出發(fā)從A地前往B地,乙行駛途中有一次停車修理,修好后乙車的行駛速度是原來(lái)的2倍.兩車距離A地的路程(千米)與行駛時(shí)間(時(shí))的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求甲車距離A地的路程(千米)與行駛時(shí)間(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)x=2.8時(shí),甲、乙兩車之間的距離是 千米;乙車到達(dá)B地所用的時(shí)間的值為 ;
(3)行駛過(guò)程中,兩車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間首次后相遇?
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