【題目】某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí),將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD(AB<BC)的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(①→②→③),圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn)。

該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖(三角板一直角邊與OD重合)中,BN2=CD2+CN2,在圖中(三角板一邊與OC重合),CN2=BN2+CD2,請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖和圖中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論選擇其一說(shuō)明理由。

試探究圖中BN、CN、CM、DN這四條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由。

將矩形ABCD改為邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,直角三角板的直角頂點(diǎn)繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖,兩直角邊與AB、BC分別交于M、N,直接寫(xiě)出BN、CN、CM、DM這四條線(xiàn)段之 間所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系(不需要證明)

【答案】見(jiàn)解析CM2+CN2=DM2+BN2,理由見(jiàn)解析CM2-CN2+ DM2-BN2=2

【解析】選擇圖證明:

連結(jié)DN

矩形ABCD

BO=DO DCN=900

ONBD

NB=ND

∵∠DCN=900

ND2=NC2+CD2

BN2=NC2+CD2 (4分)

注:若選擇圖,則連結(jié)AN同理可證并類(lèi)比給分

CM2+CN2=DM2+BN2 理由如下:

延長(zhǎng)DO交AB于E

矩形ABCD

BO=DO ABC=DCB=900

ABCD

∴∠ABO=CDO BEO=DMO

∴△BEO≌△DMO

OE=OM BE=DM

MOEM

NE=NM

∵∠ABC=DCB=900

NE2=BE2+BN2 NM2=CN2+CM2

CN2+CM2 =BE2+BN2

即CN2+CM2 =DM2+BN2 (4分)

CM2-CN2+ DM2-BN2=2(2分)

(1)作輔助線(xiàn),連接DN,在RtCDN中,根據(jù)勾股定理可得:ND2=NC2+CD2,再根據(jù)ON垂直平分BD,可得:BN=DN,從而可證:BN2=NC2+CD2;

(2)作輔助線(xiàn),延長(zhǎng)MO交AB于點(diǎn)E,可證:BEO≌△DMO,NE=NM,在RtBEN和RtMCN中,根據(jù)勾股定理和對(duì)應(yīng)邊相等,可證:CN2+CM2=DM2+BN2;

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)知:OA=OB,OAM=OBN,AOB=AOM+BOM=90°MON為直角三角板的直角,可知:MON=BOM+BON=90°,可得:AOM=BON,從而可證:AOM≌△BON,AM=BN,又AB=BC,可得:BM=CN,在RtADM和BCM中,根據(jù)勾股定理:DM2=AM2+AD2=BN2+AD2,MC2=MB2+BC2=CN2+BC2,故可得:CM2-CN2+DM2-BN2=2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】一輪船在P處測(cè)得燈塔A在正北方向,燈塔B在南偏東24.5°方向,輪船向正東航行了2400m,到達(dá)Q處,測(cè)得A位于北偏西49°方向,B位于南偏西41°方向.

(1)線(xiàn)段BQ與PQ是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)求A、B間的距離(參考數(shù)據(jù)cos41°=0.75).

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(2)當(dāng)BD,AC滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形EFGH是正方形.(不要求證明)

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(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離相等,求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)x的值.

(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離之和為8?若存在,請(qǐng)求出x的值;若不存在,說(shuō)明理由.

(3)點(diǎn)A,B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/分、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)P5個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng).當(dāng)遇到A時(shí),點(diǎn)P立即以同樣的速度向右運(yùn)動(dòng),并不停地往返于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的總路程是多少?

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每件童裝降價(jià)多少元時(shí),平均每天贏利1200元.

要想平均每天贏利2000元,可能嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)如圖1,問(wèn)飼養(yǎng)室長(zhǎng)x為多少時(shí),占地面積y最大?
(2)如圖2,現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門(mén),且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大。小敏說(shuō):“只要飼養(yǎng)室長(zhǎng)比(1)中的長(zhǎng)多2m就行了.”

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