Question

在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax²-25a與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上，與y軸相交于點C，點D（3，4）在拋物線上，連接OD，AD．
（1）如圖1，求此拋物線的解析式及線段OD、AD的長；
（2）如圖2，動點E在線段AD上（點E不與點A、D重合），點F在OA上，且∠OEF=∠OAD，設(shè)線段AE的長為m，線段AF的長為d，求d與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線y=ax²-25a上，且在第二象限內(nèi)，當d取最大值時，若∠QCO=2∠EOF，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將D（3，4）代入y=ax²-25a即可得出a的值，進而得出二次函數(shù)的解析式，令y=0求出x的值即可得出A、B兩點的坐標，過點D作DH⊥x軸于點H，則DH=4，OH=3，AH=2，根據(jù)勾股定理求出OD及AD的長即可；
（2））根據(jù)∠OEF=∠OAD，可知∠OED=∠EFA，再由OD=OA=5，得出∠EAF=∠ODE，所以△EAF∽△ODE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出d與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)拋物線的頂點坐標求出d=-

1

5

m²+

2 5

5

m的最大值，故可得出AF，OF，AE的長，再根據(jù)OA=OD，可知OE⊥AD，故∠AOD=2∠AOE=2∠EOF；由（1）得，tan∠DOA=

DH

OH

=

4

3

，求出OC的長，過點Q作QK⊥OC于點K，根據(jù)∠QCO=2∠EOF=∠DOA，可知tan∠QCK=tan∠DOA=

QK

CK

=

4

3

，
設(shè)QK=4a，則CK=3a，OK=

25

4

-3a，故Q（4a，

25

4

-3a），把Q（4a，

25

4

-3a）代入y=-

1

4

x²+

25

4

求出a的值，進而得出Q點的坐標．

解答：解：（1）將D（3，4）代入y=ax²-25a得，4=a×3²-25a，解得：a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x²+

25

4

得
當y=0時，0=-

1

4

x²+

25

4

，
解得：x₁=-5，x₂=5，
∴B（-5，0），A（5，0），
∴OA=5．
如圖1所示，過點D作DH⊥x軸于點H，則DH=4，OH=3，AH=2，
∴OD=

OH2+DH2

=

32+42

=5；AD=

AH2+DH2

=

22+42

=2

5

；

（2）∵∠OEF=∠OAD，
∴∠OED=∠EFA，
又∵OD=OA=5，
∴∠EAF=∠ODE，
∴△EAF∽△ODE，
∴

EA

OD

=

AF

DE

，∴

m

5

=

d

2 5 -m

，
∴d=-

1

5

m²+

2 5

5

m，（0＜m＜2

5

）；

（3）對于d=-

1

5

m²+

2 5

5

m中，
∵a=-

1

5

，b=

2 5

5

，
∴當m=-

b

2a

=

5

時，d最大=

4ac-b2

4a

=

-( 2 5 5 )2

4×(- 1 5 )

=1．
∴AF=1，OF=4，AE=DE=

5

，
∵OA=OD，
∴OE⊥AD，
∴∠AOD=2∠AOE=2∠EOF；
由（1）得，tan∠DOA=

DH

OH

=

4

3

，
對于y=-

1

4

x²+

25

4

，當x=0時，y=

25

4

，
∴C（0，

25

4

），
∴OC=

25

4

，
如圖2所示，過點Q作QK⊥OC于點K，
∵∠QCO=2∠EOF=∠DOA，
∴tan∠QCK=tan∠DOA=

QK

CK

=

4

3

，
設(shè)QK=4a，則CK=3a，OK=

25

4

-3a，
∴Q（4a，

25

4

-3a），
把Q（4a，

25

4

-3a）代入y=-

1

4

x²+

25

4

得，

25

4

-3a=-

1

4

×（4a）²+

25

4

，
解得：a₁=-

3

4

，a₂=0（舍去）
∴Q（-3，4）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識，難度較大．