Question

3．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)．∠BOC=α，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．
（1）當(dāng)α=100°時(shí)，∠ODA=40°；當(dāng)α=120°時(shí)，∠ODA=60°；
（2）若α=150°，OB=5，OC=6．求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以證明△ODC是等邊三角形，利用∠ADO=∠ADC-ODC即可得出．
（2）根據(jù)已知條件可以證明∠ADC=90°，利用勾股定理可以解決．

解答 解：（1）∵△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴△ODC是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=100°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=100°-60°=40°，
當(dāng)∠ADC=∠BOC=α=120°時(shí)，∠ADO=∠ADC-∠ODC=120°-60°=60°
故答案分別為40°、60°．
（2）由（1）可知，當(dāng)∠ADC=∠BOC=α=150°時(shí)，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∵AD=OB=5，OD=DC=OC=6，
∴OA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．