Question

【題目】已知如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)沿，向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，？當(dāng)為何值時(shí)，？

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的高交于點(diǎn)，與是否總是相等？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，PQ∥AB，當(dāng)時(shí)，；（2）OP=OQ，理由見解析

【解析】

（1）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△PQC為等邊三角形，根據(jù)PC=CQ列出方程即可解出x的值，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，可得，列出方程解答即可；

（2）作QH⊥AD于點(diǎn)H，計(jì)算得出QH=DP，從而證明△OQH≌△OPD（AAS）即可．

解：（1）∵當(dāng)PQ∥AB時(shí)，

∴∠QPC=∠B=60°，

又∵∠C=60°

∴△PQC為等邊三角形

∴PC=CQ，

∵PC=4-x，CQ=2x，

由4-x=2x

解得：，

∴當(dāng)時(shí)，PQ∥AB；

若PQ⊥AC，

∵∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴，

即，

解得：

∴當(dāng)時(shí)，

（2）OP=OQ，理由如下：

作QH⊥AD于點(diǎn)H，

∵AD⊥BC，

∠QAH=30°，

∴，

∵DP=BP-BD=x-2，

∴DP=QH，

∴在△OQH與△OPD中

∴△OQH≌△OPD（AAS）

∴OQ=OP