Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，為坐標原點，，將平行四邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，點在的延長線上，點落在軸正半軸上．

(1)證明:是等邊三角形:

(2)平行四邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度．的對應(yīng)線段為,點的對應(yīng)點為

①直線與軸交于點,若為等腰三角形，求點的坐標:

②對角線在旋轉(zhuǎn)過程中設(shè)點坐標為，當(dāng)點到軸的距離大于或等于時，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①P（0, ）或（0, -4）②-8≤m≤-或≤m≤12

【解析】

(1)根據(jù)A點坐標求出∠AOF=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點得到AO=AF，故可求解；

（2）①設(shè)P（0,a）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分AP=OP和AO=OP，分別求出P點坐標即可；

②分旋轉(zhuǎn)過程中在第三象限時到軸的距離等于與旋轉(zhuǎn)到第四象限時到軸的距離等于，再求出當(dāng)旋轉(zhuǎn)180°時的坐標，即可得到m的取值．

（1）如圖，過A點作AH⊥x軸，

∵

∴OH=2,AH=2

∴AO=

故AO=2OH

∴∠OAH=30°

∴∠AOF=90°-∠OAH=60°

∵旋轉(zhuǎn)

∴AO=AF

∴△AOF是等邊三角形；

（2）①設(shè)P（0,a）

∵是等腰三角形

當(dāng)AP=OP時，（2-0）2+（2-a）2=a2

解得a=

∴P（0, ）

當(dāng)AO=OP時，OP= AO=4

∴P（0, -4）

故為等腰三角形時，求點的坐標是（0, ）或（0, -4）；

②旋轉(zhuǎn)過程中點的對應(yīng)點為，

當(dāng)開始旋轉(zhuǎn)，至到軸的距離等于時，m的取值為-8≤m≤-；

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到第四象限，到軸的距離等于時，m=

當(dāng)旋轉(zhuǎn)180°時，設(shè)C’的坐標為(x,y)

∵C、關(guān)于A點對稱，

∴

解得

∴（12，）

∴m的取值為≤m≤12，

綜上，當(dāng)點到軸的距離大于或等于時，求的范圍是-8≤m≤-或≤m≤12．