Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過(guò)B作BC⊥AB交⊙O于C，過(guò)C作⊙O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)E作EF//BC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
（1）求證：FC=FG；
（2）若BC=4，CG=6，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF//BC，BC⊥AB，

∴EF⊥AB，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴AF=DF，

∴∠A=∠D，

∵BC⊥AD，

∴∠ABC=∠CBD=90°，

∴∠A+∠G=∠D+∠DCB=90°，

∵∠FCG=∠BCD，

∴∠G=∠FCG，

∴FC=FG；

（2）解：連接AC，

∵∠ABC=90°，

∴∠ACB+∠CAB=90°，

∵DF為切線，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠DCB=90°，

∴∠CAB=∠BCD，

∵∠G=∠FCG=∠BCD，

∴∠CAB=∠G，

∵∠ABC=∠ABG，

∴△ABC∽△GBA，

∴ = ，

∴AB2=BCGB=4×（4+6）=40，

∴AB= =2

【解析】（1）求出EF⊥AB，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AF=DF，求出∠A=∠D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠G=∠FCG，即可得出答案；（2）連接AC，求出∠G=∠CAD，根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC∽△GBA，得出比例式，打擾求出即可．
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和切線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．