Question

如圖(1)，Rt ∆ABC中，垂足為D.AF平分∠CAB．交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F.
【小題1】求證：CE=CF；
【小題2】將圖(1)中的∆ADE沿AB向右平移到∆A'D'E'的位置，使點(diǎn)E’落在BC邊上，其它條件不變，如圖(2)所示．試猜想：BE’與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【小題1】證明：因?yàn)锳F平分∠CAB，
所以∠CAF= ∠EAD，                                                     （1分）
因?yàn)椋骸螦CB=90⁰
所以：∠CAF+∠CFA=90^{0                                                                            （2分）}
因?yàn)椋篊D⊥AB于D
所以：∠EAD+∠AED=90⁰
所以：∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,
所以：∠CFA=∠CEF,
所以;CE=CF
【小題2】猜想：BE’=CF                                                      (5分)
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G

又AF平分∠CAB，ED⊥AB、ED⊥AB，EG⊥AC
所以：ED=EG，
由平移的性質(zhì)可知：D’E’=DE,
所以：D’E’=GE
因?yàn)椋骸螦CB=90⁰
所以：∠ACD+∠DCB=90⁰
因?yàn)椋篊D⊥AB于點(diǎn)D
所以：∠B+∠DCB=90⁰
所以：∠ACD=∠B
在Rt∆CEG與Rt∆BE’D’中

所以：∆CEG?∆BE’D’                                                 (8分)
所以：CE=BE’
由（1）可知CE=CF。
所以：BE’=CF                                                      （9分）解析:
（1）根據(jù)平分線的定義可知∠CAF=∠EAD，再根據(jù)已知條件以及等量代換即可證明CE=CF，
（2）根據(jù)題意作輔助線過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，根據(jù)平移的性質(zhì)得出D′E′=DE，再根據(jù)已知條件判斷出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根據(jù)等量代換可知BE′=CF．