Question

如圖，分別以Rt△XYZ的直角邊和斜邊為邊向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角邊YZ=1，XZ=2，則六邊形ABCDEF的面積為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)勾股定理求出XY，那么可求出三個正方形和△XYZ及△EFZ的面積，再根據(jù)已知圖形可求出∠DYC=180°-∠XYZ，
∠AXB=180°-∠YXZ，那么也能求出△CDY和△ABX的面積．三個正方形和四個三角形面積的和就是六邊形ABCDEF的面積．

解答：解：在Rt△XYZ中，根據(jù)勾股定理得：
XY²=YZ²+XZ²=1²+2²=5，
∴XY=

5

．
∴sin∠YXZ=

1

5

，sin∠XYZ=

2

5

，
所以得：
正方形AXZF的面積=2×2=4，
正方形DEZY的面積=1×1=1，
正方形BCYX的面積=

5

×

5

=5，
△XYZ的面積=

1

2

×1×2=1，
△EFZ的面積=

1

2

×1×2=1，
又∠AXB=360°-90°-90°-∠YXZ=180°-∠YXZ，
同理：∠DYC=180°-∠XYZ，
已知正方形AXZF、BCYX、DEZY，
∴AX=2，DY=1，BX=CY=

5

，
∴△ABX的面積=

1

2

AX•BX•sin∠AXB=

1

2

AX•BX•sin（180°-∠YXZ）
=

1

2

AX•BX•sin∠YXZ=

1

2

×2×

5

×

1

5

=1，
同理：△CDY的面積=

1

2

CY•DY•sin∠XYZ=

1

2

×

5

×1×

2

5

=1．
六邊形ABCDEF的面積=正方形AXZF的面積+正方形DEZY的面積+正方形BCYX的面積+△XYZ的面積+△EFZ的面積+△ABX的面積+△CDY的面積
=4+1+5+1+1+1+1=14．
故答案為：14．

點評：此題是勾股定理、正方形面積、三角形面積知識的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出XY，再是表示出∠DYC=180°-∠XYZ和∠AXB=180°-∠YXZ．