【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為D.
(1)請直接寫出點A,C,D的坐標;
(2)如圖(1),在x軸上找一點E,使得△CDE的周長最小,求點E的坐標;

(3)如圖(2),F(xiàn)為直線AC上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:當y=﹣x2﹣2x+3中y=0時,有﹣x2﹣2x+3=0,

解得:x1=﹣3,x2=1,

∵A在B的左側(cè),

∴A(﹣3,0),B(1,0).

當y=﹣x2﹣2x+3中x=0時,則y=3,

∴C(0,3).

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴頂點D(﹣1,4)


(2)

解:作點C關(guān)于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,如圖1所示.

∵C(0,3),

∴C′(0,﹣3).

設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+b,

則有 ,解得: ,

∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3,

當y=﹣7x﹣3中y=0時,x=﹣ ,

∴當△CDE的周長最小,點E的坐標為(﹣ ,0)


(3)

解:設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

則有 ,解得: ,

∴直線AC的解析式為y=x+3.

假設(shè)存在,設(shè)點F(m,m+3),

△AFP為等腰直角三角形分三種情況(如圖2所示):

①當∠PAF=90°時,P(m,﹣m﹣3),

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3,

解得:m1=﹣3(舍去),m2=2,

此時點P的坐標為(2,﹣5);

②當∠AFP=90°時,P(2m+3,0)

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴0=﹣(2m+3)2﹣2×(2m+3)+3,

解得:m3=﹣3(舍去),m4=﹣1,

此時點P的坐標為(1,0);

③當∠APF=90°時,P(m,0),

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴0=﹣m2﹣2m+3,

解得:m5=﹣3(舍去),m6=1,

此時點P的坐標為(1,0).

綜上可知:在拋物線上存在點P,使得△AFP為等腰直角三角形,點P的坐標為(2,﹣5)或(1,0).


【解析】(1)令拋物線解析式中y=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標,再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標,利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標;(2)作點C關(guān)于x軸對稱的點C′,連接C′D交x軸于點E,此時△CDE的周長最小,由點C的坐標可找出點C′的坐標,根據(jù)點C′、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線C′D的解析式,令其y=0求出x值,即可得出點E的坐標;(3)根據(jù)點A、C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,假設(shè)存在,設(shè)點F(m,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮.根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合點A、F點的坐標找出點P的坐標,將其代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解方程求出m值,再代入點P坐標中即可得出結(jié)論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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