Question

【題目】如圖 1，在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 以 lcm/s 的速度從點(diǎn) A 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（s），連結(jié) BE，過點(diǎn) E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 為直徑作⊙O．

（1）求證：∠1＝∠2；

（2）如圖 2，連結(jié) BF，交⊙O 于點(diǎn) G，并連結(jié) EG．已知 AB＝4，AD＝6．

①用含 t 的代數(shù)式表示 DF 的長

②連結(jié) DG，若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，求 t 的值；

（3）連結(jié) OC，當(dāng) tan∠BFC＝3 時(shí)，恰有 OC∥EG，請(qǐng)直接寫出 tan∠ABE 的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，t 的值為 3 或 ；（3）tan∠ABE＝1.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②當(dāng)EG=ED時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；當(dāng)GE=GD時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論；

（3）如圖2，過O作OH⊥CD于H，設(shè)CF=a，BC=3a，得到DE=3a-t，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OH=DE=，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到DF=7a-3t，AB=8a-3t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵四邊形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠AEB＝∠1，

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∵∠2+∠DEF＝90°，

∴∠AEB＝∠2，

∴∠1＝∠2；

（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，

∴△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，

∴，

∴，

②當(dāng) EG＝ED 時(shí)，

∴∠EGD＝∠EDG，

∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，

∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，

∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，

∴△BAE∽△EDF∽△BEF，

∴＝＝，

∴AE＝DE，

∴t＝6﹣t，

∴t＝3；

當(dāng) GE＝GD 時(shí)，∴∠GED＝∠GDE，

∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，

∴∠BFE＝∠BFC，

∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，

∴△BEF≌△BCF（AAS），

∴BE＝BC＝6，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴42+t2＝62，

∴t＝2；

綜上所述，若△EGD 是以 EG 為腰的等腰三角形，t 的值為 3 或 ；

（3）tan∠ABE＝1，

理由：如圖 2，過 O 作 OH⊥CD 于 H，

∵tan∠BFC＝＝3，

設(shè) CF＝a，BC＝3a，

∵AE＝t，

∴DE＝3a﹣t，

∵OH⊥CD，AD⊥CD，

∴OH∥DE，

∵OF＝OE，

∴OH＝DE＝，

∵OC∥EG，EG⊥FG，

∴OC⊥FG，

∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，

∴CH＝3OH＝，FH＝，

∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，

由△ABE∽△DEF，得 ， ，

解得t1=2a，t2=a，

當(dāng)t=a時(shí)，8a-3t<0，不合題意，舍去；

當(dāng)t=2a時(shí)，

∴tan∠ABE＝＝＝＝1．