Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過A（﹣0.5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求使得PA+PC最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）直線BC交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)AC，若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合，是否存在點(diǎn)P，使得以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣，﹣）；（3）（0，﹣3）或（0，﹣11）

【解析】

（1）把A（﹣0.5，0），B（﹣4，3）代入解析式即可求得結(jié)果；

（2）由（1）可得函數(shù)解析式，令y=0得到與x軸的交點(diǎn)，得出CD直線坐在的解析式，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)即可求解；

（3）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得直線BC的表達(dá)式，可得△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似相似，則可分兩種情況考慮，①當(dāng)∠BPC＝90°，②當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，即可求解；

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過A（﹣0.5，0），B（﹣4，3）兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴；

（2）由（1）知，令y＝0，得x1＝﹣2.8，x2＝﹣0.5，

又A（﹣0.5，0），

∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)為E（﹣2.8，0），而點(diǎn)C（0，﹣1），

連接CE交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

∴由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，可得直線CE表達(dá)式為：，

又拋物線對(duì)稱軸為直線，

∴使得PA+PC最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣ ）；

（3）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得，直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣1，故D（2，0），

∵tan∠ADC＝＝tan∠ACO，

∴∠ADC＝∠CAO，

又∠ODC+∠OCD＝90°，

∴∠ACO+∠OCD＝90°，

∴△ACD為直角三角形且∠ACD＝90°，

由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得：AD＝2.5，

同理可得：AC＝，CD＝，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，

若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似相似，則可分兩種情況考慮：

①當(dāng)∠BPC＝90°，

即BP⊥y軸時(shí)，

△CPB∽△ACD，

∴P（0，﹣3）；

②當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，

△CBP∽△ACD，

過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，

在Rt△BFC中，BF＝4，CF＝2，

則BC＝，

∵，

∴，解得：PC＝10，

∴OP＝11，

∴P（0，﹣11），

綜合以上可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，﹣11）．