Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)為M（，）的拋物線過點(diǎn)D（3，2），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上方時(shí)，求△PAD面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q'．是否存在點(diǎn)P，使Q'恰好落在x軸上？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為4，點(diǎn)P（1，3）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由△PAD面積S＝S△PHA+S△PHD，即可求解；

（3）結(jié)合圖形可判斷出點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，），當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，運(yùn)用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣）2+，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式得：2＝a（3﹣）2+，

解得：a＝﹣，

∴拋物線的表達(dá)式為：；

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+x+2＝2，

即點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），

同理，令y＝0，則x＝4或﹣1，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（4，0），

過點(diǎn)P作y軸的平行線交AD于點(diǎn)H，

由點(diǎn)A、D的坐標(biāo)得，直線AD的表達(dá)式為：y＝（x+1），

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+2），則點(diǎn)H（x，x+），

則△PAD面積為：

S＝S△PHA+S△PHD＝×PH×（xD﹣xA）＝×4×（﹣x2+x+2﹣x）＝﹣x2+2x+3，

∵﹣1＜0，故S有最大值，

當(dāng)x＝1時(shí)，S有最大值，則點(diǎn)P（1，3）；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，顯然點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+a+2），

當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)（如圖2），CQ＝a，

PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，

∴∠FQ′P＝∠OCQ′，

∴△COQ′∽△Q′FP，

，即，

∴Q′F＝a﹣3，

∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝，

此時(shí)a＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．