【題目】如圖直角坐標系中,以M(3,0)為圓心的⊙M交x軸負半軸于A,交x軸正半軸于B,交y軸于C、D.
(1)若C點坐標為(0,4),求點A坐標.
(2)在(1)的條件下,在⊙M上,是否存在點P,使∠CPM=45°,若存在,求出滿足條件的點P.
(3)過C作⊙M的切線CE,過A作AN⊥CE于F,交⊙M于N,當⊙M的半徑大小發(fā)生變化時.AN的長度是否變化?若變化,求變化范圍,若不變,證明并求值.
【答案】(1)A(﹣2,0);(2)P1(7,3),P2(﹣1,﹣3);(3)AN的長不變?yōu)?/span>6.
【解析】
(1)結合題意,連接CM,根據(jù)點M和點C的坐標可得出⊙M的半徑,即MA的長,利用M的坐標即可得出A的坐標;
(2)假設存在這樣的點P,根據(jù)題意,可知△CMP為等腰直角三角形,且CM=MP=5.根據(jù)圓的方程和兩點直接的距離公式列出方程組,解之即可得出點P的坐標;
(3)作MH⊥AN于H,則AH=NH,易證△AMH≌△MCO,故AH=M0.從而可證AH為一定值.
(1)如圖①,連接CM,
在Rt△COM中,OC=4,OM=3,CM==5,
∴AM=5,
∴OA=2,
∴A(-2,0);
(2)假設存在這樣的點P(x,y),結合題意,
可得△CMP為等腰直角三角形,且CM=PM=5,
故CP=5;
結合題意有,
;
解之得:
,
即存在兩個這樣的點P;
P1(7,3),P2(﹣1,﹣3);
(3)AN的長不變?yōu)?/span>6.
如圖②,連接CM,作MH⊥AN于H,
則AH=HN,
∵EC切⊙M,
∴∠ECM=90°,
∴四邊形DMCF是矩形,
∴∠CMH=90°,
在△AMH和△MCO中,
∵∠CMO=∠MAH=90°-∠AMH,
∠COM=∠ADM=90°,
CM=AM,
∴△AMH≌△MCO,
∴AH=MO=3,
即AN=HN+AH=3+3=6.
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【題目】今年植樹節(jié)期間,某景觀園林公司購進一批成捆的,兩種樹苗,每捆種樹苗比每捆種樹苗多10棵,每捆種樹苗和每捆種樹苗的價格分別是630元和600元,而每棵種樹苗和每棵種樹苗的價格分別是這一批樹苗平均每棵價格的0.9倍和1.2倍.
(1)求這一批樹苗平均每棵的價格是多少元?
(2)如果購進的這批樹苗共5500棵,種樹苗至多購進3500棵,為了使購進的這批樹苗的費用最低,應購進種樹苗和種樹苗各多少棵?并求出最低費用.
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【題目】小明和小麗為更好的掌握一元二次方程根的判斷情況,兩人玩一個游戲:
在一個不透明口袋中裝有分別標有 -1,0,1,2的四個小球,除了數(shù)字不同之外,這些小球完全一樣.
(1)從中任取1球,此小球是非負數(shù)的概率是__________.
(2)小明從四球中任取兩球,數(shù)字和記為m,若一元二次方程有實根,小明贏,無實根小麗贏.這個游戲公平嗎?請你用樹狀圖或列舉法分別求出小明、小麗贏的概率,并說明理由.
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【題目】近幾年,國內快遞業(yè)務快速發(fā)展,由于其便捷、高效,人們越來越多地通過快遞公司代辦點來代寄包裹.某快遞公司某地區(qū)一代辦點對60天中每天代寄的包裹數(shù)與天數(shù)的數(shù)據(jù)(每天代寄包裹數(shù)、天數(shù)均為整數(shù))統(tǒng)計如下:
(1)求該數(shù)據(jù)中每天代寄包裹數(shù)在范圍內的天數(shù);
(2)若該代辦點對顧客代寄包裹的收費標準為:重量小于或等于1千克的包裹收費8元;重量超1千克的包裹,在收費8元的基礎上,每超過1千克(不足1千克的按1千克計算)需再收取2元.
①某顧客到該代辦點寄重量為1.6千克的包裹,求該顧客應付多少元費用?
②這60天中,該代辦點為顧客代寄的包表中有一部分重量超過2千克,且不超過5千克.現(xiàn)從中隨機抽取40件包裹的重量數(shù)據(jù)作為樣本,統(tǒng)計如下:
重量G(單位:千克) | |||
件數(shù)(單位:件) | 15 | 10 | 15 |
求這40件包裹收取費用的平均數(shù).
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【題目】拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點A,B(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長;
(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點,PF⊥x軸于點F,PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對應線段是O1B1,當PE+EC的值最大時,求四邊形PO1B1C周長的最小值,并求出對應的點O1的坐標;
(3)如圖3,點H是線段AB的中點,連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點B2旋轉一周在旋轉過程中,點O2,C的對應點分別是點O3,C1,直線O3C1分別與直線AC,x軸交于點M,N.那么,在△O2B2C的整個旋轉過程中,是否存在恰當?shù)奈恢,使?/span>AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】(問題背景)如圖,在中,,點D,E分別在邊上,,連接,點P為的中點.
(觀察猜想)觀察圖1,猜想線段與的數(shù)量關系是________,位置關系是________.
(2)(拓展探究)把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置,(1)中的結論是否仍然成立,若成立,請證明:否則寫出新的結論并說明理由.
(3)(問題解決)把繞點A在平面內自由旋轉,若,請直接寫出線段長的取值范圍.
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【題目】有甲、乙兩種客車,2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人,1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人.
(1)請問1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人?
(2)某學校組織240名師生集體外出活動,擬租用甲、乙兩種客車共6輛,一次將全部師生送到指定地點.若每輛甲種客車的租金為400元,每輛乙種客車的租金為280元,請給出最節(jié)省費用的租車方案,并求出最低費用.
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【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn)
如圖①,在中,,點D是上一點,沿折疊,使得點C恰好落在上的點E處.則的數(shù)量關系為______;________;
(2)問題解決
如圖②,若(1)中,其他條件不變,請猜想之間的關系,并證明你的結論;
(3)類比探究
如圖③,在四邊形中,,連接,點E是上一點,沿折疊使得點D正好落在上的點F處,若,直接寫出的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線11:y=k1x+3分別與x軸,y軸交于A(﹣3,0),B兩點,與直線l2:y=k2x交于點C,S△AOC=9.
(1)求tan∠BAO的值;
(2)求出直線l2的解析式;
(3)P為線段AC上一點(不含端點),連接OP,一動點H從點O出發(fā),沿線段OP以每秒1個單位長度的速度運動到P,再沿線段PC以每秒個單位長度的速度運動到點C后停止,請直接寫出點H在整個運動過程的最少用時.
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