Question

【題目】將矩形如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，且，的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．

（1）設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系(不求的取值范圍)；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在．，，．

【解析】

（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA、OB的長(zhǎng)，證明△AOE∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理得到y與x的函數(shù)關(guān)系；

（2）列方程求出OE，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式；

（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．

（1），

，

∴解得，．

∵，

∴，．

∵，

∴∠AEO＋∠DEC＝90，

又∵∠AEO＋∠OAE＝90，

∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，．

∵，

∴．

解得，．

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，把A（0，8），E（4，0）代入

得

解得，

∴；

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，把A（0，8），E（8，0）代入

得

解得，

∴直線的解析式為或．

（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段OA上時(shí)，FA＝BD＝4，

∴OF＝4，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，4），

當(dāng)點(diǎn)F在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，FA＝BD＝4，

∴OF＝12，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，12），

當(dāng)點(diǎn)F在線段BC右側(cè)、AB∥DF時(shí)，DF＝AB＝12，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（24，4），

綜上所述，以A，D，B，F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，4）或（0，12）或（24，4）．