Question

【題目】如圖，已知在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交直線于．發(fā)現(xiàn)： ．

探究①：若恰好是的中點(diǎn)，交于，如圖2，求的長(zhǎng)；

探究②：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)(保留)

Answer 1

【答案】發(fā)現(xiàn)：1；探究①：；探究②：或或或．

【解析】

發(fā)現(xiàn)：根據(jù)直角三角形中30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得答案；

探究①：根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得，，結(jié)合可得，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算；

探究②：分時(shí)和時(shí)兩種情況，在每種情況下再分時(shí)和時(shí)兩種情況，分別根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)角α，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解：發(fā)現(xiàn)：由題意得；

探究①：∵，M是斜邊的中點(diǎn)，，，

∴，，

∴，

∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，

∵，

∴，

∴；

探究②：若時(shí)，連接，由題意得，

∵，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有，即，

解得：，

∴點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為：；

當(dāng)時(shí)，有，即，

解得：，

∴點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為：；

若時(shí)，

∵，

∵當(dāng)時(shí)，有，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為：，

同理，當(dāng)時(shí)，有，

∴點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為：，

綜上所述，點(diǎn)所旋轉(zhuǎn)的路徑長(zhǎng)為：或或或．