Question

如圖，四邊形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90?，CB=1，OA=OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，直線y=-

1

2

x+1過A點(diǎn)，且與y軸交于D點(diǎn)．
（1）求出A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：AD=BO且AD⊥BO；
（3）若點(diǎn)M是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：存在型

分析：（1）根據(jù)直線解析式，令y=0求出x的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BF⊥AO于F，可得四邊形BCOF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得到OF=BC=1，從而求出AF的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出BF的長(zhǎng)度，點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得到；
（2）根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到CD=1，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，OC=2，然后利用邊角邊證明△AOD與△OCB全等，從而得到AD=BO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠OAD=∠COB，根據(jù)∠COB+∠AOB=90°可得∠OAD+∠AOB=90°，從而得到∠AEO=90°，得證；
（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得BM∥AN且BM=AN，令y=2求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到BM的長(zhǎng)度，再分點(diǎn)N在點(diǎn)O的左邊與右邊、點(diǎn)N關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)三種情況討論求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x+1=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），
∴AO=2，
∵OA=OC，
∴OC=2，
過點(diǎn)B作BF⊥AO于F，則四邊形BCOF是矩形，
∴OF=BC=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）；

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-

1

2

×0+1=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴OD=BC=1，
根據(jù)（1）的結(jié)論，四邊形BCOF是矩形，
∴OC=BF=2，
∴AO=OC=2，
在△AOD與△OCB中，

OD=BC ∠AOD=∠OCB=90° AO=OC

，
∴△AOD≌△OCB（SAS），
∴AD=BO
∴∠OAD=∠COB，
∵∠COB+∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠AOB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AD⊥BO；

（3）存在．
∵點(diǎn)N在x軸上，O、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴BM∥x軸，且BM=ON，
根據(jù)（1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴-

1

2

x+1=2，
解得x=-2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，2），
∴BM=1-（-2）=1+2=3，
①點(diǎn)N在點(diǎn)O的左邊時(shí)，ON=BM=3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0），
②點(diǎn)N在點(diǎn)O的右邊時(shí)，ON=BM=3，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），
③作N（-3，0）關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)N′，則N′也符合，
點(diǎn)N′的坐標(biāo)是（7，0），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3，0）或（3，0）或（7，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要有坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，只有仔細(xì)分析題目，理清數(shù)量關(guān)系便不難解決．