Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a(x-5)(x+1)與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)G為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF．當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（-5，-20）；（3）G（，2） （，2）

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)A作，交軸于點(diǎn)，交拋物線與點(diǎn)，通過(guò)∽ 求得OH的長(zhǎng)，從而得到H點(diǎn)坐標(biāo)，繼而得到直線AP的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF,根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，OD（即EF）的長(zhǎng)度最�。�然后只需求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)G的縱坐標(biāo)，代入解析式就可求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)G的坐標(biāo).

（1） ∵拋物線與軸交于點(diǎn)C（0， ），∴，

∴；

（2）過(guò)點(diǎn)A作，交軸于點(diǎn)，交拋物線與點(diǎn)，則A（5，0），B（-1，0）

∵，

∴∽span> ∴ ∴；

又∵， ，∴，

∴H（0，-10），A（5，0），∴直線AP的解析式為y=2x-10，

聯(lián)立 ∴P（-5，-20）；

（3）∵軸， 軸，∴四邊形OFDE是矩形，∴EF=OD，

∴EF長(zhǎng)度的最小值為OD長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)時(shí)，OD的長(zhǎng)度最�。�

此時(shí)， ，

又∵軸， ，∴∽，∴

∴，∴OE=2，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2，

∴ 解得，

∴G（，2） （，2）.