Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，﹣）、（2，0），將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到矩形OA′B′C′，邊A′B′與y軸交于點(diǎn)D，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A′、C′．

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是邊OC′上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥OC′，交拋物線位于y軸右側(cè)部分于點(diǎn)Q，連接OQ、DQ，設(shè)△ODQ的面積為S，當(dāng)直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分時(shí)，求S的值；

（4）保持矩形OA′B′C′不動(dòng)，將矩形OABC沿射線CO方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，設(shè)平移時(shí)間為t秒（t＞0）．當(dāng)矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

（2）B′（1，﹣3）；

（3）S△ODQ′=×2×=．

（4）0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2時(shí)，矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形．

【解析】

試題分析：（1）求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx解方程組即可．

（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點(diǎn)E．求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．

（3）分兩種情形①當(dāng)OP：PC′=1：3時(shí)，P（，﹣），求出直線PQ的解析式，利用方程組求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．②當(dāng)OP′：P′C′=3：1時(shí)，P′（，﹣），方法類似．

（4）分別求出①如圖3中，當(dāng)AB經(jīng)過點(diǎn)C′時(shí)，②如圖4中，當(dāng)O′C′=O′A=時(shí)，③如圖5中，當(dāng)點(diǎn)A在直線B′C′上時(shí)的時(shí)間t，觀察圖象即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1中，

由題意A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），把A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2）代入y=ax2+bx得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x．

（2）如圖1中，連接A′C′，OB′交于點(diǎn)E．∵四邊形OA′B′C′是矩形，

∴A′E=EC′，OE=EB′，∵A′（﹣1，﹣1），C′（2，﹣2），∴E（，﹣），∴B′（1，﹣3）．

（3）如圖2中，∵直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1：3的兩部分，

∴OP：PC′=1：3或OP′：P′C′=3：1．

①當(dāng)OP：PC′=1：3時(shí)，P（，﹣），直線PQ的解析式為y=x﹣1，

由，解得或，∵點(diǎn)Q在第四象限，

∴Q（，）．∵D（0，﹣2），∴S△ODQ=×2×=．

②當(dāng)OP′：P′C′=3：1時(shí)，P′（，﹣），∴直線P′Q′的解析式為y=x﹣3，

由解得或，

∴Q′（，），∴S△ODQ′=×2×=．

（4）如圖3中，當(dāng)AB經(jīng)過點(diǎn)C′時(shí)，t=2﹣2，

如圖4中，當(dāng)O′C′=O′A=時(shí)，AB與B′C′交于點(diǎn)M，連接O′M，則△O′MA≌△O′MC′，

此時(shí)t=OO′=2﹣=，

如圖5中，當(dāng)點(diǎn)A在直線B′C′時(shí)上，t=OO′=2﹣1．

綜上所述，觀察圖形可知0≤t﹣2或t=或2﹣1≤t≤2時(shí)，矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對(duì)稱多邊形．