【題目】ABC中,AB=AC,BAC=α,點(diǎn)PABC內(nèi)一點(diǎn),且PAC+PCA=,連接PB,試探究PAPB、PC滿足的等量關(guān)系.

(1)當(dāng)α=60°時(shí),將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′,連接PP′,如圖1所示.由△ABP≌△ACP′可以證得△APP′是等邊三角形,再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小為   度,進(jìn)而得到△CPP′是直角三角形,這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為   ;

(2)如圖2,當(dāng)α=120°時(shí),參考(1)中的方法,探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系,并給出證明;

(3)PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為   

【答案】1150,PA2+PC2=PB2;(23PA2+PC2=PB2;(34PA2sin2+PC2=PB2

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△PAP′為等邊三角形,得到∠P′PC=90°,根據(jù)勾股定理解答即可;
(2)如圖2,作將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACP′,連接PP′,作AD⊥PP′于D,根據(jù)余弦的定義得到PP′=PA,根據(jù)勾股定理解答即可;
(3)與(2)類似,根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析:

(1)∵△ABP≌△ACP′,

∴AP=AP′,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=60°,P′C=PB,

∴△PAP′為等邊三角形,

∴∠APP′=60°,

∵∠PAC+PCA==30°,

∴∠APC=150°,

∴∠P′PC=90°,

∴PP′2+PC2=P′C2,

∴PA2+PC2=PB2,

故答案為:150,PA2+PC2=PB2

(2)如圖2,作將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到ACP′,連接PP′,

作ADPP′于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=120°,P′C=PB,

∴∠APP′=30°,

∵∵∠PAC+PCA==60°,

∴∠APC=120°,

∴∠P′PC=90°,

∴PP′2+PC2=P′C2,

∵∠APP′=30°,

PD=PA,

PP′=PA

∴3PA2+PC2=PB2;

(3)如圖2,與(2)的方法類似,

作將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到ACP′,連接PP′,

作ADPP′于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,∠PAP′=α,P′C=PB,

∴∠APP′=90°,

∵∵∠PAC+PCA=

∴∠APC=180°,

∴∠P′PC=180°90°=90°

∴PP′2+PC2=P′C2,

∵∠APP′=90°

PD=PAcos90°=PAsin,

PP′=2PAsin

4PA2sin2+PC2=PB2,

故答案為:4PA2sin2+PC2=PBspan>2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有 名,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示“D等級(jí)的扇形的圓心角為 度,圖中m的值為 ;

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)組委會(huì)決定從本次比賽中獲得A等級(jí)的學(xué)生中,選出2名去參加市中學(xué)生演講比賽,已知A等級(jí)中男生有1名,請(qǐng)用列表畫樹狀圖的方法求出所選2名學(xué)生中恰好是一名男生和一名女生的概率.

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③方程3x2+4x-70的根為x1_______,x2________,x1+x2________,x1·x2________

(2)利用求根公式計(jì)算:一元二次方程ax2+bx+c0(a≠0,且b2-4ac≥0)的兩根為x1________x2________x1+x2________,x1·x2________

(3)利用上面的結(jié)論解決下面的問(wèn)題:

設(shè)x1、x2是方程2x2+3x-10的兩個(gè)根,根據(jù)上面的結(jié)論,求下列各式的值:

;

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