Question

已知關(guān)于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：關(guān)于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，即y=x²+（k-5）x+9與x軸在1＜x＜2內(nèi)有一交點．可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解答．

解答：解：關(guān)于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，
即y=x²+（k-5）x+9與x軸在1＜x＜2內(nèi)有一交點，故有以下三種情況：
（1）

△=(k-5)2-4×9=0① f(1)=1+(k-5)+9＞0② f(2)=4+2(k-5)+9＞0③

，
由①得，k²-10k-11=0，
解得k₁=-1，k₂=11；
由②得，k＞-5；
由③得，k＞-

3

2

；
故實數(shù)k的取值范圍為k₁=-1，k₂=11；
（2）

△=(k-5)2-4×9＞0① f(1)=1+(k-5)+9＞0② f(2)=4+2(k-5)+9＜0③

，
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1 k＞2

；或

k＜-1 k＜2

．
由②得，k＞-5；
由③得，k＜-

3

2

；
故實數(shù)k的取值范圍為-5＜k＜-

3

2

；
（3）

△=(k-5)2-4×9＞0① f(1)=1+(k-5)+9＜0② f(2)=4+2(k-5)+9＞0③

，
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1 k＞2

；或

k＜-1 k＜2

．
由②得，k＜-5；
由③得，k＞-

3

2

；
由②③可知，不等式組無解．

點評：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點與根的判別式的關(guān)系，利用根的判別式、交點所對應(yīng)的函數(shù)值列出不等式組是解題的關(guān)鍵，解答時要進(jìn)行分類討論．