已知關(guān)于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:關(guān)于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,即y=x2+(k-5)x+9與x軸在1<x<2內(nèi)有一交點.可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解答.
解答:解:關(guān)于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,
即y=x2+(k-5)x+9與x軸在1<x<2內(nèi)有一交點,故有以下三種情況:
(1)
△=(k-5)2-4×9=0①
f(1)=1+(k-5)+9>0②
f(2)=4+2(k-5)+9>0③
,
由①得,k2-10k-11=0,
解得k1=-1,k2=11;
由②得,k>-5;
由③得,k>-
3
2

故實數(shù)k的取值范圍為k1=-1,k2=11;
(2)
△=(k-5)2-4×9>0①
f(1)=1+(k-5)+9>0②
f(2)=4+2(k-5)+9<0③

由①得,k2-10k-11>0,即(k+1)(k-2)>0,
解得
k>-1
k>2
;或
k<-1
k<2

由②得,k>-5;
由③得,k<-
3
2
;
故實數(shù)k的取值范圍為-5<k<-
3
2
;
(3)
△=(k-5)2-4×9>0①
f(1)=1+(k-5)+9<0②
f(2)=4+2(k-5)+9>0③
,
由①得,k2-10k-11>0,即(k+1)(k-2)>0,
解得
k>-1
k>2
;或
k<-1
k<2

由②得,k<-5;
由③得,k>-
3
2
;
由②③可知,不等式組無解.
點評:此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點與根的判別式的關(guān)系,利用根的判別式、交點所對應(yīng)的函數(shù)值列出不等式組是解題的關(guān)鍵,解答時要進(jìn)行分類討論.
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