Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣4經過點A（5，﹣5），若拋物線頂點為P．

（1）求點P的坐標；
（2）在直線OA上方的拋物線上任取一點M，連接MO、MA，求△MOA的面積取得最大時的點M坐標；
（3）如圖1，將原拋物線沿射線OP方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OP交于C、D兩點．試問線段CD的長度是否為定值，若是請求出這個定值；若不是請說明理由．（提示：若點C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），則CD的長度d= ）

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意﹣52+5m+m﹣4=﹣5，

∴m=4，

∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4

∴頂點P（2，4）

（2）

解：如圖1，

∵A（5，﹣5），

∴OA的解析式為y=﹣x，

設M（m，﹣m2+4m），（0＜m＜5）

∴N（m，﹣m），

∴MN=﹣m2+4m+m=﹣m2+5m，

∴S△MOA= MN|xA﹣xO|= （﹣m2+5m）5=﹣ （m2﹣5m）=﹣ （m﹣ ）2+

∴當m= 時，△MOA的面積取得最大，此時的點M坐標（ ， ）

（3）

解：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是為定值，

∵直線OP的解析式為y=2x，

∴可設新拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+2a

聯(lián)立拋物線與OP，

，

∴﹣（x﹣a）2﹣ a=﹣ x，

∴x1=a，x2=a﹣2，x1﹣x2=2；

y1=2x1=2a，y2=2x2=2（a﹣2），y1﹣y2=4；

∴CD的長度= = =2

∴在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是定值，定值為2

【解析】（1）根據待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據配方法，可得頂點坐標；（2）先設出點M坐標，得出三角形MOA面積，進而確定出點M的坐標．（3）根據平移規(guī)律，可得新拋物線，根據聯(lián)立拋物線與OP，可得C、D點的橫坐標，根據勾股定理，可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．