Question

【題目】我們不妨約定：對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．

（1）①在平行四邊形，矩形，菱形、正方形中，一定是十字形的有 ；

②若凸四邊形ABCD是十字形，AC＝a，BD＝b，則該四邊形的面積為 ；

（2）如圖1，以等腰Rt△ABC的底邊AC為邊作等邊三角形△ACD，連接BD，交AC于點(diǎn)O， 當(dāng) ≤S 四邊形≤ 時(shí)，求BD的取值范圍；

（3）如圖2，以十字形ABCD的對(duì)角線AC與BD為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，若計(jì) 十字形ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為：S1，S2，S3，S4，且同時(shí)滿足列四個(gè)條件：

① ；② ；③十字形ABCD的周長(zhǎng)為32：④∠ABC＝60°； 若E為OA的中點(diǎn)，F為線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，以1cm/s 的速度沿線段EF勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再以2cms 的速度沿線段FB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，到達(dá)點(diǎn)B 后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P沿上述路線運(yùn)動(dòng) 到點(diǎn)B所需要的時(shí)間最短時(shí)，求點(diǎn)P走完全程所需的時(shí)間及直線EF的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①菱形和正方形；②ab；（2）≤BD≤2；（3）點(diǎn)P走完全程所需的時(shí)間t=，直線EF的解析式為y=x+．

【解析】

（1）①根據(jù)菱形，正方形和矩形的性質(zhì)即可判斷；

②根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可；

（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為x，根據(jù)△ABC為等腰直角三角形，△ACD為等邊三角形，得出OB=x，OD==x，即BD=x+x，再根據(jù)≤S四邊形≤運(yùn)算即可；

（3）首先設(shè)A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），然后根據(jù)，，得出a=c，b=d，再結(jié)合已知條件推吹四邊形ABCD是有一個(gè)角為60°的菱形，根據(jù)菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，即可得出AB=8，OA=4，OB=，OE=2，過(guò)F點(diǎn)作FM⊥BC交BC于M點(diǎn)，可得FM=FBsin30°=FB，可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t==EF+FB=EF+FM，當(dāng)E，F，M三點(diǎn)共線時(shí)EF+FM的值最小，由此可推出t=；根據(jù)在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，可推出F（0，），再結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），即可求出EF的解析式．

（1）①∵菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直，矩形的對(duì)角線不互相垂直，

∴菱形和正方形一定是十字形；

②對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，

∴四邊形的面積為ab；

（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為x，

∵△ABC為等腰直角三角形，△ACD為等邊三角形，

∴OB=x，OD==x，

∴BD=x+x，

∵≤S四邊形≤

≤x（x+x）≤

≤x2≤

≤x2≤

≤x≤

∴≤x≤

即≤BD≤2；

（3）設(shè)A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），

∴S1=ab，S2=cd，S3=ad，S4=bc，

∵，，

∴S=S1+S2+=ab+cd+，

S=S3+S4+=ad+bc+，

即ab+cd=ad+bc

ab-ad=bc-cd

a（b-d）=c（b-d）

即a=c，同理b=d，

∴△AOB≌△BOC，△AOB≌△AOD，

∴AB=BC，AB=AD，

∵∠ABC=60°，

∴四邊形ABCD是有一個(gè)角為60°的菱形，

∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，

∴AB=8，OA=4，OB=，

∵點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)，

∴OE=2，

過(guò)F點(diǎn)作FM⊥BC交BC于M點(diǎn)，可得FM=FBsin30°=FB，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t==EF+FB=EF+FM，

∴當(dāng)E，F，M三點(diǎn)共線時(shí)EF+FM的值最小，

∵∠ECM=60°，AC=AB，點(diǎn)E為OA的中點(diǎn)，

∴CE=6，∠∠FEO=30°，E（-2，0），

∴CM=3，EM=，即t=，

在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，

∴OF=，即F（0，），

∴設(shè)EF的解析式為y=kx+b，

將E，F的坐標(biāo)代入得，

解得：，

∴EF的解析式為y=x+，

綜上：點(diǎn)P走完全程所需的時(shí)間t=，直線EF的解析式為y=x+．