Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點C（-3，0），D（0，4），過B點作x軸的垂線交過A點的反比例函數(shù)圖象于E點，交x軸于G點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點E的坐標；
（3）連接AE，BD，求四邊形AEBD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根據(jù)“AAS”證明△CDO≌△DAF；由于△CDO≌△DAF，根據(jù)全等的性質(zhì)得AF=OD=4，DF=OC=3，則A點坐標為（-4，7），再利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）結(jié)合（1）中的方法一樣可證明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，則得到E點的橫坐標為-7，然后利用反比例函數(shù)解析式可確定E點坐標；
（3）作AM⊥x軸于M，交BD于F，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，進而求得F點的坐標，得出AF的長，然后根據(jù)S_{四邊形AEBD}=S_梯形AEBF+S_△ADF即可求得．

解答 解：（1）如圖1，過點A作AF⊥y軸于點F，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y軸，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠AFD}\\{∠CDO=∠DAF}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△DAF（AAS），
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A點坐標為（-4，7），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，
把A（-4，7）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-4×7=-28，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{28}{x}$；

（2）如圖1，
同理可證明△CDO≌△BGC，
則CG=OD=4，
故OG=OC+CG=7，
則E點的橫坐標為-7，
把x=-7代入y=-$\frac{28}{x}$得y=4，
故E點坐標為（-7，4）；

（3）如圖2，作AM⊥x軸于M，交BD于F，
∵△CDO≌△BGC，
∴BG=OC=3，
∴B（-7，3），
設(shè)直線BD的解析式為y=ax+b，
把B（-7，3），D（0，4）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{-7a+b=3}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{7}$x+4，
∵A（-4，7），
∴F的橫坐標為-4，
代入為y=$\frac{1}{7}$x+4得y=$\frac{24}{7}$，
∴AF=7-$\frac{24}{7}$=$\frac{25}{7}$，
∴S_{四邊形AEBD}=S_梯形AEBF+S_△ADF=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{25}{7}$）×（7-4）+$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{7}$×4=14．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)；會求四邊形的面積；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．