【題目】如圖,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P,分別交AC和BC的延長(zhǎng)線于E,D.過P作PF⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF交DH于點(diǎn)G.則下列結(jié)論:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD﹣AH=AB;④DG=AP+GH.其中正確的是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
①根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP,再根據(jù)角平分線的定義∠ABP=∠ABC,然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解;
②先求出∠APB=∠FPB,再利用“角邊角”證明△ABP和△FBP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=BF,AP=PF;
③根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP=∠FDP,然后利用“角角邊”證明△AHP與△FDP全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH;
④根據(jù)PF⊥AD,∠ACB=90°,可得AG⊥DH,然后求出∠ADG=∠DAG=45°,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DG=AG,再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF,然后求出DG=GH+AF,有直角三角形斜邊大于直角邊,AF>AP,從而得出本小題錯(cuò)誤.
解:①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線,
∴∠ABP=∠ABC,
∠CAP=(90°+∠ABC)=45°+∠ABC,
在△ABP中,∠APB=180°-∠BAP-∠ABP,
=180°-(45°+∠ABC+90°-∠ABC)-∠ABC,
=180°-45°- ∠ABC-90°+∠ABC-∠ABC,
=45°,故本小題正確;
②∵PF⊥AD,∠APB=45°(已證),
∴∠APB=∠FPB=45°,
∵∵PB為∠ABC的角平分線,
∴∠ABP=∠FBP,
在△ABP和△FBP中,
,
∴△ABP≌△FBP(ASA),
∴AB=BF,AP=PF;故②正確;
③∵∠ACB=90°,PF⊥AD,
∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°,
∴∠AHP=∠FDP,
∵PF⊥AD,
∴∠APH=∠FPD=90°,
在△AHP與△FDP中,
∴△AHP≌△FDP(AAS),
∴DF=AH,
∵BD=DF+BF,
∴BD=AH+AB,
∴BD-AH=AB,故③小題正確;
④∵PF⊥AD,∠ACB=90°,
∴AG⊥DH,
∵AP=PF,PF⊥AD,
∴∠PAF=45°,
∴∠ADG=∠DAG=45°,
∴DG=AG,
∵∠PAF=45°,AG⊥DH,
∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形,
∴DG=AG,GH=GF,
∴DG=GH+AF,
∵AF>AP,
∴DG=AP+GH不成立,故本小題錯(cuò)誤,
綜上所述①②③正確.
故選:C.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,等邊三角形OAB關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形是等邊三角形OA′B′.若已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),則點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是( )
A.6
B.-6
C.3
D.-3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰直角△ABC中,CA=CB,點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn),CE=CA,且CD平分∠ACB交AE于D,且∠CDE=60°.
(1)求證:△CBE為等邊三角形;
(2)若AD=5,DE=7,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知如圖:直線AB⊥BC,四邊形ABCD是正方形,且AB=6,點(diǎn)P是BD上一點(diǎn),且PD=2,一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P上,另兩條邊與BC、AB所在直線相交于點(diǎn)E、F,在三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中,使得△PBF是等腰三角形,(1)線段BD=________,(2)請(qǐng)寫出所有滿足條件的BF的長(zhǎng)__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC , AD平分∠BAC , DE∥AC交AB于E , 則S△EBD:S△ABC=( )
A.1:2
B.1:4
C.1:3
D.2:3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在△ABC中三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)滿足∠ABC:∠C:∠A=5:6:7,BD是△ABC的角平分線,DE是△DBC的高.
(1)求△ABC各內(nèi)角的度數(shù);
(2)求圖中的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題,真命題是( )
A.如圖,如果OP平分∠AOB,那么,PA=PB
B.三角形的一個(gè)外角大于它的一個(gè)內(nèi)角
C.如果兩條直線沒有公共點(diǎn),那么這兩條直線互相平行
D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,CN是等邊△的外角內(nèi)部的一條射線,點(diǎn)A關(guān)于CN的對(duì)稱點(diǎn)為D,連接AD,BD,CD,其中AD,BD分別交射線CN于點(diǎn)E,P.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)若,求的大小(用含的式子表示);
(3)用等式表示線段, 與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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