【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線yx2+kx+c的圖象經(jīng)過點C0,1),當x2時,函數(shù)有最小值.

1)求拋物線的解析式;

2)直線ly軸,垂足坐標為(0,﹣1),拋物線的對稱軸與直線l交于點A.在x軸上有一點B,且AB,試在直線l上求異于點A的一點Q,使點Q在△ABC的外接圓上;

3)點Pab)為拋物線上一動點,點M為坐標系中一定點,若點P到直線l的距離始終等于線段PM的長,求定點M的坐標.

【答案】1yx2x+1; 2Q1,﹣1);(3M21

【解析】

1)由已知可求拋物線解析式為yx2x+1;

2)由題意可知A2,﹣1),設Bt,0),由AB,所以(t22+12,求出B1,0)或B3,0),當B1,0)時,A、B、C三點共線,舍去,所以B3,0),可證明△ABC為直角三角形,BC為外接圓的直徑,外接圓的圓心為BC的中點(,),半徑為,設Qx,﹣1),則有(x2++12=(2,即可求Q1,﹣1);

3)設頂點Mm,n),Pa,b)為拋物線上一動點,則有ba2a+1,因為P到直線l的距離等于PM,所以(ma2+nb2=(b+12,可得+2n2m+2a+m2+n22n3)=0,由a為任意值上述等式均成立,有,可求定點M的坐標.

解:(1)∵圖象經(jīng)過點C0,1),

c1,

∵當x2時,函數(shù)有最小值,即對稱軸為直線x2,

,解得:k=﹣1,

∴拋物線解析式為yx2x+1;

2)由題意可知A2,﹣1),設Bt0),

AB,

∴(t22+12,

t1t3,

B1,0)或B3,0),

B1,0)時,A、BC三點共線,舍去,

B3,0),

AC2,BC

∴∠BAC90°,

∴△ABC為直角三角形,BC為外接圓的直徑,外接圓的圓心為BC的中點(,),半徑為,

Qx,﹣1),則有(x2++12=(2,

x1x2(舍去),

Q1,﹣1);

3)設頂點Mm,n),∵Pa,b)為拋物線上一動點,

ba2a+1,

P到直線l的距離等于PM

∴(ma2+nb2=(b+12,

+2n2m+2a+m2+n22n3)=0

a為任意值上述等式均成立,

,

此時m2+n22n30,

∴定點M21).

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