Question

2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D為AB的中點，點P在線段BC上由B點出發(fā)向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點出發(fā)向A點運動．設(shè)運動時間為ts．
（1）證明：∠B=∠C；
（2）若點P的速度是3cm/s，點Q的運動速度與點P的運動速度相等，則t為何值時△BPD與△CQP全等？請說明理由；
（3）若點P的速度比點Q的速度慢1cm/s，則點Q的運動速度為多少時，能使△BPD與△CQP全等？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）求出BP、CQ、CP，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（3）設(shè)當點Q的運動速度為x厘米/時，點P的速度是（x-1）cm/s，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=（x-1）t厘米，CP=[8-（x-1）t]厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）過A作AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD與Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠B=∠C；

（2）點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10厘米，點D為AB的中點，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△DBP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（3）設(shè)當點Q的運動速度為xcm/s，點P的速度是（x-1）cm/s，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=（x-1）t厘米，CP=[8-（x-1）t]厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴當BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時，△BPD與△CQP全等，
即①（x-1）t=xt，5=8-（x-1）t（不合題意，舍去），
②（x-1）t═8-（x-1）t，5=xt，
解得：x=5，
即當點Q的運動速度為5厘米/時時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，特別是利用分類討論的方法討論三角形全等的情況，培養(yǎng)學生綜合解題的能力．