Question

【題目】如圖1，直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，已知，，且滿足．

（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接．

①與軸的位置關(guān)系怎樣？說明理由；

②求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，是軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6）；（2）①BG⊥y軸，理由見解析；②；（3）存在，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）

【解析】

（1）根據(jù)平方和絕對(duì)值的非負(fù)性即可求出m和n的值，從而求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）①利用SAS即可證出△BDG≌△ADF，從而得出∠G=∠AFD，根據(jù)平行線的判定可得BG∥AF，從而得出∠GBO=90°，即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中線段的中點(diǎn)公式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出OM=，DM=3，根據(jù)角平分線的定義可得∠COA=45°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得△FMD為等腰三角形，FM=DM=3，從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H，利用AAS證出△GFE≌△HEP，從而得出FG=EH，GE=PH，然后根據(jù)點(diǎn)F和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可求出OE的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：（1）∵，

∴

解得：

∴AO=3，BO=6

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,6）；

（2）①BG⊥y軸，理由如下

∵點(diǎn)為中點(diǎn)

∴BD=AD

在△BDG和△ADF中

∴△BDG≌△ADF

∴∠G=∠AFD

∴BG∥AF

∴∠GBO=180°－∠AOB=90°

∴BG⊥y軸；

②過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M

∵點(diǎn)為中點(diǎn)

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）=（）

∴OM=，DM=3

∵平分

∴∠COA=

∵

∴∠MFD=∠COA=45°

∴△FMD為等腰三角形，FM=DM=3

∴OF=FM－OM=；

（3）存在，

過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，過點(diǎn)P作PH⊥y軸于H

若為等腰直角三角形，必有EF=PE，∠FEP=90°

∴∠GFE＋∠GEF=90°，∠HEP＋∠GEF=90°

∴∠GFE=∠HEP

在△GFE和△HEP中

∴△GFE≌△HEP

∴FG=EH，GE=PH

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴OG=10，PH=6

∴GE=6

∴OE=OG－GE=4

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,4）．