Question

6．如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH．若BH=8，tan∠FCB=2，則FG=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，進(jìn)而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長(zhǎng)度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽R(shí)t△GFH，求出FG的長(zhǎng)度．

解答 解：連接CG．
在△CGD與△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠EBC=∠GDC=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
過(guò)點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，則∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM與△HCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EH=CH}\\{∠HEM=∠HCN}\end{array}\right.$，
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四邊形MBNH為正方形．
∵BH=8，
∴BN=HN=4$\sqrt{2}$，
∵tan∠FCB=$\frac{HN}{CN}$=2，
∴CN=2$\sqrt{2}$．
在Rt△HCN中，CH=$\sqrt{H{N}^{2}+C{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴GH=CH=2$\sqrt{10}$．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽R(shí)t△GFH．
∴$\frac{CH}{FG}=\frac{HN}{GH}$，即$\frac{2\sqrt{10}}{FG}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，
∴FG=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵．