Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AD，DC上，AB=6，DF＝4，將矩形沿直線EF折疊，點D恰好落在BC邊上的點G處，連接DG交EF于點H.

(1)求DE的長度.

(2)求的值.

(3)若AB邊上有且只存在2個點P，使△APE與△BPG相似，請直接寫出邊AD的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)3；(3)或.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)易得CF=2，由折疊的性質(zhì)可得DF=GF，在Rt△CFG中，利用勾股定理求得CG=，在Rt△CDG中求得DG=，得到∠CDG=30°，即∠EDG=60°，則可得△EDG為等邊三角形，得到DE=DG=；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EF垂直平分DG，在Rt△DHF中，根據(jù)直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半得到HF=2，在Rt△DEF中，求得EF的值，進(jìn)而得到EH的值，即可得到答案；

（3）如圖，

（1）由折疊的性質(zhì)可得DF=GF，DE=GE，

∵AB=6，DF＝4，

∴CF=CD﹣DF=AB﹣DF=2，

在Rt△CFG中，，

在Rt△CDG中，，

∴DG=2CG，

∴∠CDG=30°，

∴∠EDG=60°，

∴△EDG為等邊三角形，

∴DE=DG=；

（2）由折疊的性質(zhì)可得：EF垂直平分DG，

∵∠CDG=30°，

∴HF=DF=2，

∵∠DEG=60°，

∴∠DEF=30°，

∴EF=2DF=8，

∴EH=EF﹣HF=6，

∴；

（3）如圖，作G點關(guān)于AB的對稱點Q，連接EQ交AB于P，此時△APE∽△BPG，以EG為直徑作圓交AB于P1，P2，此時△AP1E∽△BP1G，△AP2E∽△BP2G，

①當(dāng)P點與P1重合時，滿足條件，易證AP=AE，BP=BG，

設(shè)AD=x，則AP=AE=x﹣，BG=BP=6+﹣x，

則DE=2（BG﹣AE），即，

解得a=；

②當(dāng)P1與P2重合時，滿足條件，此時以GE為直徑的圓與AB相切，

設(shè)AE=m，BG=n，

則DE=2（n﹣m）=，GE=2×=，

整理解得m=，

∴AD=AE+DE=.

綜上可得AD的值為或.