Question

1．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)30°得到△A₁BC₁，設(shè)AC交A₁C₁于點(diǎn)D，則點(diǎn)D到AB的距離為$\sqrt{3}$-1或1．

Answer 1

分析 ①如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，以B為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線BC¹為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠C=30°，解直角三角形得到A（-2，0），C₁（0，2），A₁（-$\sqrt{3}$，-1），C（1，$\sqrt{3}$），求得直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，直線A₁C₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2，聯(lián)立方程組即可得到結(jié)論；②如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠C₁=30°，推出四邊形ABC₁D是平行四邊形，得到四邊形ABC₁D是菱形，然后解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：①如圖1，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A₁BC₁，
∴∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABC₁=90°，
以B為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線BC¹為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴A（-2，0），C₁（0，2），A₁（-$\sqrt{3}$，-1），C（1，$\sqrt{3}$），
∴直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直線A₁C₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴D（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-1），
∴點(diǎn)D到AB的距離為$\sqrt{3}$-1；
②如圖2，∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A₁BC₁，
∴∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=∠C₁=30°，
∴∠ABC₁=150°，
∴∠ADC₁=150°，
∴∠A=∠C₁，∠ABC₁=∠ADC₁，
∴四邊形ABC₁D是平行四邊形，
∵AB=BC₁=2，
∴四邊形ABC₁D是菱形，
∴AD=2，
過D作DE⊥于E，
∵∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，
綜上所述：點(diǎn)D到AB的距離為：$\sqrt{3}$-1或1，
故答案為：$\sqrt{3}$-1或1．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．