Question

已知凸四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AC平分∠BAD，過C作AB的垂線交AB于E，求證：AE=

1

2

（AB+AD）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：過C作CM⊥AD于M，證△MAC≌△EAC，推出AM=AE，證Rt△DMC≌Rt△BEC，推出BE=DM，求出AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE，即可得出答案．

解答：
證明：過C作CM⊥AD于M，
∵CE⊥AB，
∴∠M=∠CEB=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+°，
∴∠B=∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM=CE，∠MAC=∠EAC，
在△MAC和△EAC中，

∠MAC=∠EAC ∠M=∠AEC=90° AC=AC

，
∴△MAC≌△EAC（AAS），
∴AM=AE，
∵∠M=∠BEC=90°，
∴在Rt△DMC和Rt△BEC中

CD=BC CM=CE

∴Rt△DMC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DM，
∴AB+AD
=AE+BE+AD
=AE+DM+AD
=2AM
=2AE，
即AE=

1

2

（AB+AD）．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，題目比較好，難度適中．