Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于C（0，c）點，與x軸交于B（c，0），其中c＞0，
（1）求證：b+1+ac=0；
（2）若C與B兩點距離等于2

2

，求c；
（3）在（2）的條件下，一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根之差的絕對值等于1，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入拋物線解析式整理即可．
（2）B、C與原點O構成直角三角形，可利用勾股定理表示出斜邊長BC，進而求得c．
（3）結合（1）（2），讓一元二次方程ax²+bx+c=0只剩一個未知字母，表示出兩根之差的絕對值，進而求解．

解答：解：（1）依題意有ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
∵c＞0，
∴ac+b+1=0．（2分）

（2）|BC|=

2

c=2

2

，
∴c=2，（2分）

（3）由（1）（2）知

c=2 b=-2a-1

，
設二次函數(shù)的解析式為：y=ax²-（2a+1）x+2（1分），
∴|x₁-x₂|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=1，
∴

(2a+1)2-8a

|a|

=1，
∴a=1，a=

1

3

，（1分）
∴a=1?時，y=x²-3x+2，（1分）
∴a=

1

3

?時，y=

1

3

x²-

5

3

x+2．（1分）

點評：點在函數(shù)解析式上，這個點的橫縱坐標應適合這個函數(shù)解析式；一元二次方程的兩根之差的絕對值為

b2-4ac

|a|

．