已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)∵A(-1,0)、B(3,0)經(jīng)過(guò)拋物線y=ax2+bx+c,
∴可設(shè)拋物線為y=a(x+1)(x-3)。
又∵C(0,3) 經(jīng)過(guò)拋物線,∴代入,得3=a(0+1)(0-3),即a=-1。
∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。
(2)連接BC,直線BC與直線l的交點(diǎn)為P。 則此時(shí)的點(diǎn)P,使△PAC的周長(zhǎng)最小。
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
將B(3,0),C(0,3)代入,得:
,解得:
。
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3。
當(dāng)x-1時(shí),y=2,即P的坐標(biāo)(1,2)。
(3)存在。點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,),(1,-
),(1,1),(1,0)。
【解析】二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,線段中垂線的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)。
【分析】(1)可設(shè)交點(diǎn)式,用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。
(2)由圖知:A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知:若連接BC,那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)。
(3)由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確,因此要分三種情況來(lái)討論:①M(fèi)A=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng),再按上面的三種情況列式求解:
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為: x=1,∴設(shè)M(1,m)。
∵A(-1,0)、C(0,3),∴MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10。
①若MA=MC,則MA2=MC2,得:m2+4=m2-6m+10,得:m=1。
②若MA=AC,則MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±。
③若MC=AC,則MC2=AC2,得:m2-6m+10=10,得:m=0,m=6,
當(dāng)m=6時(shí),M、A、C三點(diǎn)共線,構(gòu)不成三角形,不合題意,故舍去。
綜上可知,符合條件的M點(diǎn),且坐標(biāo)為(1,),(1,-
),(1,1),(1,0)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(12,0)和C(0,-6),對(duì)稱(chēng)軸為x=2.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC,若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng),問(wèn)是否存在某一時(shí)刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度;若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐
標(biāo);若存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆山東鄒城北宿中學(xué)九年級(jí)3月月考數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
已知拋物線y=ax2+bx-4a經(jīng)過(guò)A(-1,0)、C(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D(m,m+1)在第一象限的拋物線上, 求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連結(jié)BD,若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且∠DBP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年浙江省嵊州市九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分14分)
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,求解下列問(wèn)題:
1.(1)求拋物線的解析式和D點(diǎn)的坐標(biāo);
2.(2)過(guò)點(diǎn)D作DF∥軸,交直線BC于點(diǎn)F,求線段DF的長(zhǎng),并求△BCD的面積;
3.(3)能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q,使△BDQ為直角三角形?若能找到,試寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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