已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過點(diǎn)B(12,0)和C(0,-6),對稱軸為x=2.
(1)求該拋物線的解析式.
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC,若動點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動,同時(shí)另一個(gè)動點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動,問是否存在某一時(shí)刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動速度;若存在,請說明理由.
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等腰三角形?若存在,請求出所有點(diǎn)M的坐
標(biāo);若存在,請說明理由.
解:∵拋物線 過C(6,0)
∴c=-6,即y=ax²+bx-6
由,解得:a=,b=-
∴拋物線解析式為y=x²-x-6
(2)存在,設(shè)直線DC垂直平分PQ
在Rt△AOC中,AC²8²+6²=100, ∴AC=10=AD
∴點(diǎn)D在對稱軸上,連接DQ, 則∠PDC=∠QDC
∵∠PDC=∠ ACD
∴∠QDC=∠ ACD∴DQ∥AC,BD=AB-AD=10
DQ為△ABC的中位線,∴DQ=½AC=5
AP=AD-PD=AD-DQ=5
∴t=5/1=5秒
∴存在t=5秒時(shí),直線DC垂直平分PQ
在Rt△BOC中,BC ² =6 ²+12 ²,BC=6,∴CQ=3
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3/5秒/單位長度
(3)存在,過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H,QH=3,PH=9
在Rt△PQH中,PQ==3
①當(dāng)MP=MQ時(shí),設(shè)直線CD的解析式為:y=kx+b。k≠0
解得:,∴y=3x-6
當(dāng)x=1時(shí),y=-3 ∴m1(1,-3)
②當(dāng)PQ為等腰三角形△MPQ的腰時(shí),且p為頂點(diǎn)
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),有勾股定理得
4x²+y²=90,y=±
∴M3(1, )M2(1, -)
③當(dāng)PQ為等腰三角形△MPQ的腰時(shí),且Q為頂點(diǎn)
過點(diǎn)Q作QE⊥Y軸于E,交直線x=1于F,則F﹙1,-3﹚
設(shè)直線x=1上存在點(diǎn)M(1,y),有勾股定理得
(y+3)²+5²=90,y=-3±
∴M4 (1, )M5 (1, -)
綜上所述:存在這樣的點(diǎn):m1(1,-3) M3(1, )M2(1, -),M4 (1, )M5 (1, -)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆山東鄒城北宿中學(xué)九年級3月月考數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
已知拋物線y=ax2+bx-4a經(jīng)過A(-1,0)、C(0,4)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D(m,m+1)在第一象限的拋物線上, 求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連結(jié)BD,若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且∠DBP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年浙江省嵊州市九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,求解下列問題:
1.(1)求拋物線的解析式和D點(diǎn)的坐標(biāo);
2.(2)過點(diǎn)D作DF∥軸,交直線BC于點(diǎn)F,求線段DF的長,并求△BCD的面積;
3.(3)能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q,使△BDQ為直角三角形?若能找到,試寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請說明理由。
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