Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ為某個(gè)等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱(chēng)該等腰三角形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)等腰三角形”．下圖為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)等腰三角形”的示意圖．

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-，0)，則點(diǎn)A，B的“相關(guān)等腰三角形”的頂角為　 　°；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)D在直線(xiàn)y=4上，且C，D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，求直線(xiàn)CD的表達(dá)式；

（3）⊙O的半徑為，點(diǎn)N在雙曲線(xiàn)y=﹣上．若在⊙O上存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）y=x+，或y=﹣x+．（3）﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．

【解析】

（1）畫(huà)出圖形求出∠BAO的度數(shù)即可解決問(wèn)題；

（2）利用等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，推出直線(xiàn)MN與x軸的夾角為45°，可以假設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=﹣x+b，當(dāng)直線(xiàn)與⊙O相切于點(diǎn)M時(shí)，求出直線(xiàn)MN的解析式，利用方程組求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，觀(guān)察圖象即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1中，

∵A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)A，B的“相關(guān)等腰三角形”△ABC的當(dāng)C（，0）或（﹣2，1），

∵tan∠BAO==，

∴∠BAO=∠CAO=60°，

∴∠BAC=∠ABC′=120°，

故答案為120．

（2）如圖2中，設(shè)直線(xiàn)y=4交y軸于F（0，4），

∵C（0，），

∴CF=3，

∵且C，D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，

∴∠CDF=∠CD′F=60°，

∴DF=FD′=3tan30°=3，

∴D（3，4），D′（﹣3，4），

∴直線(xiàn)CD的解析式為y=x+，或y=﹣x+．

（3）如圖3中，

∵點(diǎn)M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，

∴直線(xiàn)MN與x軸的夾角為45°，

可以假設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=﹣x+b，

當(dāng)直線(xiàn)與⊙O相切于點(diǎn)M時(shí)，易知b=±2，

∴直線(xiàn)MN的解析式為y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，

由，解得或，

∴N（﹣1，3），N′（3，1），

由解得或，

∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），

觀(guān)察圖象可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為：﹣3≤xN≤﹣1或1≤xN≤3．