【題目】如圖,拋物線y1=2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B,交y軸于點(diǎn)C(0,﹣2),且拋物線對稱軸x=﹣2交x軸于點(diǎn)D,E是拋物線在第3象限內(nèi)一動點(diǎn).

(1)求拋物線y1的解析式;

(2)將△OCD沿CD翻折后,O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′是否在拋物線y1上?請說明理由.

(3)若點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上,過E′作x軸的垂線交拋物線y1于點(diǎn)F,①求點(diǎn)F的坐標(biāo);②直線CD上是否存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大?若存在,試寫出|PE﹣PF|最大值.

【答案】(1)拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;(2)O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′不在拋物線y1上,理由見解析;(3)①F(2,6﹣2);②直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

【解析】試題分析:(1)先由拋物線對稱軸方程可求出b=2,再把點(diǎn)C0,﹣2)代入y1=x2+bx+c可得c=2,所以拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;

2)過O′點(diǎn)作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣2,0),C0,2),在RtOCD中利用三角函數(shù)可計算出ODC=60°,再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2,O′DC=ODC=60°,所以O′DH=60°,接著在RtO′DH中利用三角函數(shù)可計算出O′H=,利用勾股定理計算出DH=1,則O′﹣3,),然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷O′點(diǎn)是否在拋物線y1上;

3利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)Emm2+2m﹣2)(m0),過EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2﹣2m+2,由(2)得ODC=60°,再利用軸對稱性質(zhì)得DC平分EDE′,DE=DE′,則EDE′=120°,所以EDH=60°,于是在RtEDH中利用三角函數(shù)的定義可得m2﹣2m+2=﹣2﹣m,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,則E﹣4,﹣2),接著計算出DE=4,所以DE′=4,于是得到E′2,0),然后計算x=2時得函數(shù)值即可得到F點(diǎn)坐標(biāo);

由于點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸,則PE=PE′,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時,取等號),于是可判斷直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

試題解析:(1拋物線對稱軸x=﹣2

=﹣2,

解得b=2,

點(diǎn)C0﹣2)在拋物線y1=x2+bx+c上,

c=2

拋物線解析式為y1=x2+2x﹣2;

2O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′不在拋物線y1上.理由如下:

O′點(diǎn)作O′Hx軸于H,如圖1,由(1)得D﹣2,0),C0,2),

RtOCD中,OD=2,OC=,

tanODC==,

∴∠ODC=60°

∵△OCD沿CD翻折后,O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′,

∴O′D=OD=2,∠O′DC=∠ODC=60°,

∴∠O′DH=60°,

RtO′DH中,sinO′DH=

O′H=2sin60°=,

DH==1

O′﹣3,),

當(dāng)x=﹣3時,y1=x2+2x﹣2=×9+2×﹣3﹣2≠﹣,

∴O′點(diǎn)不在拋物線y1上;

3設(shè)Em, m2+2m﹣2)(m0),

EEHx軸于H,連結(jié)DE,如圖2,則DH=﹣2﹣m,EH=﹣m2+2m﹣2=﹣m2﹣2m+2,

由(2)得∠ODC=60°,

點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上,

∴DC垂直平分EE′,

∴DC平分∠EDE′DE=DE′,

∴∠EDE′=120°,

∴∠EDH=60°

RtEDH中,tanEDH=,

EH=HDtan60°,即m2﹣2m+2=﹣2﹣m,

整理得m2+4+2m﹣8=0,解得m1=2(舍去),m2=﹣4,

E﹣4﹣2),

HD=2EH=2,

DE==4,

∴DE′=4,

∴E′2,0),

E′F⊥x軸,

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)x=2時,y1=x2+2x﹣2=6﹣2,

F2,6﹣2);

②∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸,

∴PE=PE′

∴|PE′﹣PF|≤E′F(當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時,取等號),

直線CD上存在點(diǎn)P,使|PE﹣PF|最大,最大值為6﹣2

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