Question

【題目】已知點(diǎn)A是雙曲線 （k1＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)A作平行于y軸的直線，與x軸交于點(diǎn)B，與雙曲線（k2＜0）交于點(diǎn)C．點(diǎn)D（m，0）是x軸上一點(diǎn)，且位于直線AC右側(cè)，E是AD的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)m＝4時(shí)，求△ACD的面積（用含k1、k2的代數(shù)式表示）；

（2）若點(diǎn)E恰好在雙曲線（k1＞0）上，求m的值；

（3）設(shè)線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（2，0）時(shí)，若△BDF的面積為1，且CF∥AD，求k1的值，并直接寫出線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由于A、C的橫坐標(biāo)相同，則AC的長即為A、C的縱坐標(biāo)之差，根據(jù)m=4，可求出BD的長，進(jìn)而的得出三角形的面積；

（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G，判斷出△DEG∽△DAB，再根據(jù)A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k1），B（1，0），D（m，0），以及G為BD的中點(diǎn)，求出E的表達(dá)式，代入反比例函數(shù)解析式，即可求出m的值；

（3）根據(jù)S△BDF=1，求出OF=2，將點(diǎn)B，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別代入解析式，求出直線BE的解析式為y=k1x-k1．再求出AD的解析式，根據(jù)平行直線的性質(zhì)求出FC的解析式，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）由題意得A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k1），C（1，k2）．（如圖1）

∵k1＞0，k2＜0，

∴點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第四象限，AC=k1-k2．

當(dāng)m=4時(shí)，S△ACD＝ACBD＝ (k1k2)．

（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G．（如圖2）

∵EG∥AB，AD的中點(diǎn)為E，

∴△DEG∽△DAB，，G為BD的中點(diǎn)．

∵A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，k1），B（1，0），D（m，0），

∴EG＝，BG＝，OG＝OB+BG＝．

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(，)．

∵點(diǎn)E恰好在雙曲線y＝上，

∴＝k1．①

∵k1＞0，

∴方程①可化為＝1，

解得m=3．

（3）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（2，0）時(shí)，由（2）可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(，)．（如圖3）

∵S△BDF=1，

∴S△BDF＝BDOF＝OF＝1．

∴OF=2．

設(shè)直線BE的解析式為y=ax+b（a≠0）．

∵點(diǎn)B，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為B（1，0），E(，)，

∴

解得a=k1，b=-k1．

∴直線BE的解析式為y=k1x-k1．

∵線段EB的延長線與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)F，k1＞0，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，-k1），OF=k1．

∴k1=2．

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），

∴設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，

將A（1，2），D（2，0）分別代入解析式得，

，

解得，

故函數(shù)解析式為y=-2x+4，

又∵AD∥FC，

設(shè)FC的解析式為y=-2x+c，

將F（0，-2）代入解析式得，c=-2，

故函數(shù)解析式為y=-2x-2．

當(dāng)x=1時(shí)，k2=-4．

C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），

故線段CF=．