Question

【題目】“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：

實(shí)例一：1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽非爾德利用實(shí)例一圖證明了勾股定理：由

S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化簡(jiǎn)得：

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于x的方程的圖解法是：

畫Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜邊AB上截取BD＝，則AD的長(zhǎng)就是該方程的一個(gè)正根(如實(shí)例二圖)

請(qǐng)根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：

(1)如圖1，請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是 ，乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是

(2)如圖2，若2和-8是關(guān)于x的方程x2+6x＝16的兩個(gè)根，按照實(shí)例二的方式構(gòu)造Rt△ABC，連接CD，求CD的長(zhǎng)；

(3)若x，y，z都為正數(shù)，且x2+y2＝z2，請(qǐng)用構(gòu)造圖形的方法求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3）

【解析】

（1）利用面積法解決問題即可；

（2）如圖2，作于點(diǎn)H，由題意可得出，利用面積求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可；

（3）如圖3，用4個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形，當(dāng)時(shí)定值，z最小時(shí)，的值最大值．易知，當(dāng)小正方形的頂點(diǎn)是大正方形的中點(diǎn)時(shí)，z的值最小，此時(shí)，，據(jù)此求解即可．

解：（1）圖1中甲圖大正方形的面積

乙圖中大正方形的面積

即

∴甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是完全平方公式，乙圖要證明的公式是平方差公式；

故答案為：完全平方公式；平方差公式；

（2）如圖2，作于點(diǎn)H，

根據(jù)題意可知，

根據(jù)三角形的面積可得：

解得：

根據(jù)勾股定理可得：

根據(jù)勾股定理可得：；

（3）如圖3，用4個(gè)全等的直角三角形（兩直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形

當(dāng)時(shí)定值，z最小時(shí)，的值最大值

易知，當(dāng)小正方形的頂點(diǎn)是大正方形的中點(diǎn)時(shí)，z的值最小，此時(shí)，，

∴的最大值為．