Question

如圖，已知AB切⊙O于點(diǎn)B，AB的垂直平分線CF交AB于點(diǎn)C，交⊙O于D、E．設(shè)點(diǎn)M是射線CF上的任意一點(diǎn)，CM=a，連接AM，若CB=3，DE=8．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)M在線段DE（不含端點(diǎn)E）上時(shí)，延長(zhǎng)AM交⊙O于點(diǎn)N，連接NE，若△ACM∽△NEM，求證：EN=AB；
（3）當(dāng)M在射線EF上時(shí)，若a為小于17的正數(shù)，問(wèn)是否存在這樣的a，使得AM與⊙O相切？若存在，求出a的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DE，垂足G，連接OB，OD，
∵DE=8，
∴DG=GE=DE=4，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴四邊形BCGO是矩形，
∴OG=CB=3，CG=OB，
∴在Rt△ODG中，r=OD==5，
∴CG=OB=5，
∴CD=CG-DG=5-4=1；

（2）∵△ACM∽△NEM，
∴∠NEM=90°，
∴NE∥AB，
連接OB并反向延長(zhǎng)交NE于H，
∴∠OHE=180°-∠ABO=90°，
∴NH=EH=EN，
∵∠OHE=∠NEM=∠ACM=∠BCM=90°，
∴四邊形BCHE為矩形，
∴BC=EH，
又∵BC=CA=AB，
∴EN=AB；

（3）解：存在．
如圖，設(shè)AM切⊙O于點(diǎn)R，RM=x，EM=y，
∵CB=3，DE=8．
∴DM=DE+EM=y+8，
∴RM²=EM•DM，
即 x²=y（y+8）①，
∵CF是AB的垂直平分線，
∴AC=BC=3，
∴AB=6，
∵AB與AR都是⊙O的切線，
∴AR=AB=6，
∴AM=6+x，CM=CD+DM=9+y，
∵在Rt△ACM中，AM²=AC²+CM²，
∴（6+x）²=9+（9+y）²②，
聯(lián)立①②：
②-①得：12x-10y-54=0，
∴x=③，
③代入①，整理得：11y²+18y-27=0，
即（11y-81）（y+9）=0，
解得：y=或y=-9（舍去），
∴CM=9+y=＜17．
∴當(dāng)a=時(shí)，使得AM與⊙O相切．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DE，垂足G，連接OB，OD，由垂徑定理可得DG的長(zhǎng)，又由AB切⊙O于點(diǎn)B，易得四邊形BCGO是矩形，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理，即可求得⊙O的半徑長(zhǎng)，繼而求得CD的長(zhǎng)；
（2）由△ACM∽△NEM，易得NE∥AB，然后連接OB并反向延長(zhǎng)交NE于H，易證得NH=EH=EN，四邊形BCHE為矩形，繼而可得BC=CA=AB，則可證得：EN=AB；
（3）首先設(shè)AM切⊙O于點(diǎn)R，RM=x，EM=y，由切割線定理，可得RM²=EM•DM，即 x²=y（y+8）①，由勾股定理可得在Rt△ACM中，AM²=AC²+CM²，即（6+x）²=9+（9+y）²②，聯(lián)立①②，即可求得EM的長(zhǎng)，繼而求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、切割線定理、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．