【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,BC=2CD=2a,點(diǎn)E在邊CD上,在矩形ABCD的左側(cè)作矩形ECGF,使CG=2GF=2b,連接BD,CF,連結(jié)AF交BD于點(diǎn)H.

(1)求證:BD∥CF;
(2)求證:H是AF的中點(diǎn);
(3)連結(jié)CH,若HC⊥BD,求a:b的值.

【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD、四邊形ECGF均為矩形,

∴∠G=∠DCB=90°.

∵BC=2CD=2a,CG=2GF=2b,

∴△FGC∽△DCB.

∴∠FCG=∠DBC.

∴BD∥CF.


(2)解:如圖1所示:連接AC,交BD于點(diǎn)O.

∵四邊形ABCD為矩形,

∴OC=OA.

又∵FC∥BD,

∴HF=AH.

∴點(diǎn)H是AF的中點(diǎn).


(3)解:如圖2所示:連接CH,CA,AC與BD交于點(diǎn)O.

由勾股定理可知:FC= b,AC= a.

∵四邊形ABCD為矩形,

∴DB=AC= a,CO= AC=

∵HO是△AFC的中位線,

∴HO= FC=

,

∴CH=

在△COH中,由勾股定理可知:HO2+CH2=OC2,即( 2+( 2=( 2

整理得:a2=

∴a:b=


【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠G=∠DCB,再根據(jù)已知BC=2CD=2a,CG=2GF=2b,得出兩邊對(duì)應(yīng)成比例,因此可證明△FGC∽△DCB.得出對(duì)應(yīng)角相等,即可證得結(jié)論。
(2)連接AC,交BD于點(diǎn)O.根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OC=OA.再根據(jù)平行線等分線段定理,即可得出結(jié)論。
(3)連接CH,CA,AC與BD交于點(diǎn)O.由勾股定理求出FC、AC的長(zhǎng),再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分,求得CO的長(zhǎng),然后根據(jù)三角形的中位線定理求出HO的長(zhǎng),又由直角三角形的兩個(gè)面積公式得出CH的長(zhǎng),在△COH中,由勾股定理可求得a:b的值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某學(xué)校興趣小組,對(duì)函數(shù)y|x1|+1的圖像和性質(zhì)進(jìn)行了研究,探究過(guò)程如下:

1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),的幾組對(duì)應(yīng)值如表:

X

……

0

1

2

3

4

5

……

y

……

5

4

m

2

1

2

3

4

5

……

其中

2)在平面直角坐標(biāo)系中,畫出上表中對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)畫出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;

3)根據(jù)畫出的函數(shù)圖像特征,仿照示例,完成下表中函數(shù)的變化規(guī)律:

序號(hào)

函數(shù)圖像特征

函數(shù)變化規(guī)律

示例1

在直線的右側(cè),函數(shù)圖像自左至右呈上升趨勢(shì)

當(dāng)時(shí)yx的增大而增大

在直線的右側(cè),函數(shù)圖像自左至右呈下降趨勢(shì)

示例2

函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,5

當(dāng)時(shí)

函數(shù)圖像的最低點(diǎn)是

當(dāng)時(shí),函數(shù)有最(大或。┲,此時(shí)

4)當(dāng)時(shí),的取值范圍是_____________

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1)(﹣120182π10+(﹣2

2)(2a4)(a+5)﹣2a10

3)(2x+3y)(﹣2x+3y)﹣(x3y2

4)(4x3y6x2y2+12xy3÷2xy

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③×16,得:16x+16y=16④

②-④,得:x=-1

將x=-1

代入③得:y=2

∴原方程組的解為:

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