【題目】在平面直角坐標系中,拋物線軸交于點,其頂點記為,自變量對應的函數(shù)值相等.若點在直線上,點在拋物線上.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)設對稱軸右側軸上方的圖象上任一點為,在軸上有一點,試比較銳角的大。ú槐刈C明),并寫出相應的點橫坐標的取值范圍;

(3)直線與拋物線另一點記為,為線段上一動點(點不與重合).設點坐標為,過軸于點,將以點,,為頂點的四邊形的面積表示為的函數(shù),標出自變量的取值范圍,并求出可能取得的最大值.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=4x2﹣16x+8;(2)當x=時,PCO=ACO,當2+x時,PCOACO,當x4時,PCOACO;(3)祥見解析.

【解析】

試題分析:(1)根據已知條件得到拋物線的對稱軸為x=2.設拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣8.將(3,﹣4)代入得拋物線的解析式為y=4(x﹣2)2﹣8,即可得到結論;

(2)由題意得:C(0,8),M(2,﹣8),如圖,當PCO=ACO時,過P作PHy軸于H,設CP的延長線交x軸于D,則ACD是等腰三角形,于是得到OD=OA= ,根據相似三角形的性質得到x= ,過C作CEx軸交拋物線與E,則CE=4,設拋物線與x軸交于F,B,則B(2+ ,0),于是得到結論;

(3)解方程組得到D(﹣1,28得到Q(t,﹣12t+16)(﹣1t2),當﹣1t0時,當0t 時,t2時,求得二次函數(shù)的解析式即可得到結論.

試題解析:(1)自變量x=﹣1和x=5對應的函數(shù)值相等,拋物線的對稱軸為x=2.

點M在直線l:y=﹣12x+16上,yM=﹣8.

設拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣8.將(3,﹣4)代入得:a﹣8=﹣4,解得:a=4.

拋物線的解析式為y=4(x﹣2)2﹣8,整理得:y=4x2﹣16x+8.

(2)由題意得:C(0,8),M(2,﹣8),

如圖,當PCO=ACO時,過P作PHy軸于H,設CP的延長線交x軸于D,則ACD是等腰三角形,

OD=OA= ,P點的橫坐標是x,P點的縱坐標為4x2﹣16x+8,

PHOD,∴△CHP∽△COD, ,x=

過C作CEx軸交拋物線與E,則CE=4,

設拋物線與x軸交于F,B,則B(2+ ,0),y=ax2+bx+c對稱軸右側x軸上方的圖象上任一點為P,

當x=時,PCO=ACO,

當2+x時,PCOACO,

x4時,PCOACO;

(3)解方程組 ,解得: ,D(﹣1,28),

Q為線段BM上一動點(點Q不與M重合),Q(t,﹣12t+16)(﹣1t2),

當﹣1t0時,S=(﹣t)(﹣12t+16﹣8)+8(﹣t)=6t2﹣12t=6(t﹣1)2﹣6,

﹣1t0,當t=-1時,S最大=18;

當0t時,S=t8+t(﹣12t+16)=﹣6t2+12t=﹣6(t﹣1)2+6,

0t,當t=1時,S最大=6;

t2時,S=t8+(12t﹣16)=6t2﹣4t=6(t﹣2,

t2,此時S=16為最大值.

練習冊系列答案
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