Question

如圖，已知AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于P，CE切⊙O于C并交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，AP=2，CD=8，則AB、AE的長(zhǎng)分別為（　�。�

• A、10，

  10

  3

• B、8，

  10

  3

• C、9，

  10

  3

• D、以上都不對(duì)

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),垂徑定理

專(zhuān)題：

分析：如圖，連接OC．由垂徑定理得到PC=

1

2

CD=4；所以在直角△OPC中，由勾股定理可以求得圓O的半徑；在直角△OCE中，可以根據(jù)射影定理求得OE的長(zhǎng)度，則AE=OE-圓O的半徑．

解答：解：如圖，連接OC．
∵AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于P，
∴PC=

1

2

CD=4，
∴在直角△OPC中，由勾股定理得到：OC=

(OA-AP)2+PC2

=

(OC-2)2+42

，
解得OC=5，
∴AB=2OC=10．
∵CE切⊙O于C并交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，
∴OC⊥EC，
∴PC²=OP•PE，即4²=3×PE，
解得，PE=

16

3

，
∴AE=PE-PA=

16

3

-2=

10

3

．
綜上所述，AB、AE的長(zhǎng)度分別是10，

10

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及垂徑定理的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．