Question

7．學(xué)生小李在暑假進行社會實踐活動，準(zhǔn)備采購一批學(xué)習(xí)用品進行銷售，進貨時老板告訴小李，每件商品可以優(yōu)惠2元，這樣原價330元的商品現(xiàn)在可以多買1件還余10元．
（1）小李現(xiàn)在實際購進這種學(xué)習(xí)用品的單價是多少元？
（2）若這種學(xué)習(xí)用品的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足如足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（利潤=銷售收入-進貨金額）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，即可求得小李現(xiàn)在實際購進這種學(xué)習(xí)用品的單價是多少元；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知該函數(shù)經(jīng)過點（20，40），（35，10），從而可以求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意可以列出獲得利潤的關(guān)系式，然后化為頂點式即可求得小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤，最大利潤是多少．

解答 解：（1）設(shè)小李原來購進這種學(xué)習(xí)用品的單價是x元，
$\frac{330}{x}=\frac{330-10}{x-2}-1$
解得x₁=22，x₂=-30（舍去）
經(jīng)檢驗，x=22是原方程的解，
所以，小李實際購進這種學(xué)習(xí)用品的單價是x-2=20元，
即小李現(xiàn)在實際購進這種學(xué)習(xí)用品的單價是20元；
（2）設(shè)銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）的函數(shù)解析式為y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{40=20k+b}\\{10=35k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=80}\end{array}\right.$
即銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）的函數(shù)解析式是：y=-2x+80；
（3）設(shè)小李獲得的利潤為w，由題意可得，
w=（x-22）（-2x+80）=-2x²+124x-1760=-2（x-31）²+162，
故當(dāng)x=31時，小李可以取得最大利潤162元，
即小李應(yīng)該將這種學(xué)習(xí)用品的銷售單價定為31元時，能獲得最大利潤，最大利潤是162元．

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、解分式方程、二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，注意分式方程要檢驗．