Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和A（﹣1，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線BC段上一點(diǎn)，PD⊥BC，PE∥y軸，分別交BC于點(diǎn)D、E．當(dāng)DE= 時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將符合（2）條件下的△PDE繞點(diǎn)M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)P，D，E的對應(yīng)點(diǎn)分別是P′、D′、E′．設(shè)P′E′的中點(diǎn)為N，當(dāng)拋物線同時經(jīng)過D′與N時，求出D′的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，2）代入解得a=

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2．

（2）解：如圖1所示：延長PE交x軸與點(diǎn)F．

∵OC=2，OB=4，

∴BC= =2 ．

∵PD⊥BC，CO⊥OB，

∴∠COB=∠PDE=90°．

∵∠PDE=∠EFB，∠PED=∠FEB，

∴∠DPE=∠CBO．

∴△PDE∽△BOC．

∴ = ，即 = ，解得PE=2．

設(shè)BC的解析式為y=kx+2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k+2=0，解得：k=﹣ ．

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣ x2+ x+2），則E（x，﹣ x+2）．

∴﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）=2，解得x1=x2=2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．

（3）解：旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖2所示：過點(diǎn)D′作D′H⊥P′E′，垂足為H．

∵∠P'D'E'=90°，N是斜邊P'E'的中點(diǎn)，

∴D′B= P′E′=1．

∵ P′D′E′D′= P′E′HD′，

∴D′H= = = ．

∴HP′= ．

∴HN=P′H﹣P′N= ．

設(shè)D′（x，﹣ x2+ x+2），則N（x﹣ ，﹣ x2+ x+2+ ），

把N點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線得﹣ x2+ x+2+ =﹣ （x﹣ ）2+ （x﹣ ）+2，解得：x= ．

∴點(diǎn)D′的橫坐標(biāo)為 ．

【解析】（1）由題意可設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得；
（2）易求出BC的長，再證△PDE∽△BOC，利用對應(yīng)邊成比例可求得PE的長，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而設(shè)出P、E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出答案；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，再過點(diǎn)D′作D′H⊥P′E′，利用直角三角形的性質(zhì)可得BD′，由三角形的面積公式可求得HD′，進(jìn)而求得HN的值，設(shè)D′，可得N點(diǎn)的坐標(biāo)，把N點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線可求得x的值，即可得答案.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．