Question

如圖所示，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸是直線x=1，且經(jīng)過點（0，2）．有下列結(jié)論：
①ac＞0；②b²-4ac＞0；③a+c＜2-b；④a＜-

1

4

；⑤x=-5和x=7時函數(shù)值相等．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線與y軸的交點位置得c＞0，所以ac＜0；由于拋物線與x軸有2個交點，所以b²-4ac＞0；根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=1，則x=1時，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2-b；由于x=-2時，y＜0，所以4a-2b+c＜0，由于-

b

2a

=1，c=2，則4a+4a+2＜0，所以a＜-

1

4

；由于拋物線的對稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對稱性得到x=-5和x=7時函數(shù)值相等．

解答：解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b²-4ac＞0，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴x=1時，y最大，即a+b+c＞2，
∴a+c＞2-b，所以③錯誤；
∵x=-2時，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
而-

b

2a

=1，c=2，
∴4a+4a+2＜0，
∴a＜-

1

4

，所以④正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴x=-5和x=7時函數(shù)值相等，所以⑤正確．
故選C．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點