Question

已知⊙O內(nèi)接正N邊形邊長為a，⊙O半徑為R，則用a，R表示此圓外切N邊形邊長為

 

．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：幾何圖形問題

分析：首先得出利用正多邊形的性質(zhì)得出CD=2R•sin

180°

N

，進而得出BO的長，再利用BD=BO•sin

180°

N

求出即可．

解答：解：如圖：圓內(nèi)接正n邊形和外切正n邊形每條邊所對的圓心角均為：

360°

N

，
即，圖中∠AOB=∠COD=

360°

N

，
則，∠AOD=∠DOB=∠BPC=

180°

N

，
而在內(nèi)接正n邊形中，

1

2

CD=R•sin（

180°

N

）
所以，CD=2R•sin

180°

N

即，a=2R•sin

180°

N

，
所以，sin

180°

N

=

a

2R

，
那么，cos

180°

N

=

1-sin2 180° n

=

1-( a 2R )2

，
所以在Rt△BOD中，BO=

DO

cos 180° N

=

R

1-( a 2R )2

，
則，在Rt△BOD中，BD=BO•sin

180°

N

=

R

1-( a 2R )2

×

a

2R

=

Ra

(4R2-a2)

=

Ra 4R2-a2

4R2-a2

，
所以，AB=2BD=2

Ra 4R2-a2

4R2-a2

，
故答案為：2

Ra 4R2-a2

4R2-a2

．

點評：此題主要考查了正多邊形和圓，熟練利用正多邊形性質(zhì)得出BO的長是解題關(guān)鍵．