Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，OA＝8，點D為對角線OB的中點，若反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象與矩形的邊BC交于點F，與矩形邊AB交于點E，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點D，且tan∠BOA＝，設直線EF的表達式為y＝k2x+b．

（1）求反比例函數(shù)表達式；

（2）直接寫出直線EF的函數(shù)表達式_______；

（3）當x＞0時，直接寫出不等式k2x+b＞的解集_____；

（4）將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕與x軸正半軸交于點H，與y軸正半軸交于點G，直接寫出線段OG的長______．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）y＝﹣x+5；（3）2＜x＜8；（4）．

【解析】

（1）利用正切的定義計算出AB得到B點坐標為（8，4），根據(jù)中點坐標公式可得到D（4，2），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達式；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可確定E、F坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線EF的解析式即可；（3）在第一象限內(nèi)，根據(jù)E、F坐標寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上上方所對應的自變量的范圍即可；（4）連接GF，如圖，設OG＝t，則CG＝4﹣t，利用折疊的性質(zhì)得到GF＝OG＝t，則利用勾股定理得到22+（4﹣t）2＝t2，然后解方程求出t即可得到OG的長．

（1）在Rt△AOB中，∵tan∠BOA＝＝，

∴AB＝OA＝×8＝4，

∵OA=8，

∴點A坐標為（8，0），

∴B點坐標為（8，4），

∵點D為對角線OB的中點，

∴，，

∴點D坐標為（4，2），

把D（4，2）代入y＝得k1＝4×2＝8，

∴反比例函數(shù)表達式為：y＝.

（2）當x＝8時，y＝＝1，

解得：y=1，

∴E（8，1），

當y＝4時，＝4，

解得：x＝2，

∴F（2，4），

把E（8，1），F（2，4）代入y＝k2x+b得，

解得，

所以直線EF的解析式為：y＝﹣x+5.

故答案為：y＝﹣x+5

（3）∵E（8，1），F（2，4），

∴不等式k2x+b＞的解集為2＜x＜8.

故答案為：2＜x＜8

（4）如圖，連接GF，設OG＝t，則CG＝4﹣t，

∵將矩形折疊，使點O與點F重合，

∴GF＝OG＝t，

∵F（2，4），

∴CF=2，

在Rt△CGF中，GF2=CG2+CF2，即22+（4﹣t）2＝t2，

解得：t＝，

∴OG的長為．