Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=﹣2．

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求此拋物線的表達(dá)式；

（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標(biāo)為（﹣6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）；（2）y=﹣x2﹣x+8；（3）S=﹣m2+4m，自變量m的取值范圍是0＜m＜8 ；（4）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），△BCE為等腰三角形．

【解析】試題分析：（1）解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8 ；根據(jù)點(diǎn)B、C的位置則可得B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性則可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)（1）中得到的點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（3）先表示出BE的長(zhǎng)度并求出△ABC的面積，再判定△BEF和△ABC相似，然后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△BEF的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比列式求解即可得到S與m的關(guān)系式；

（4）根據(jù)（3）中求得的S與m的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值，從而確定出m值，即可對(duì)△BCE的形狀作出判斷.

試題解析：（1）解方程x2﹣10x+16=0得x1=2，x2=8 ；

∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）；

又∵拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=﹣2，

∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）；

（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，

得： ，解得 ，

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=；

（3）依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴ ，即，

∴EF= ，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=，

∴ ,

∴FG= ，

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=﹣m2+4m，

自變量m的取值范圍是0＜m＜8 ；

（4）存在．

理由：∵S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8且﹣＜0，

∴當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值，S最大值=8 ，

∵m=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴△BCE為等腰三角形．